函数 $y = \frac{1 - ax}{1 + ax}$（$x \in \mathbf{R}$，$x \neq -\frac{1}{a}$）的反函数是（ ）

在“家电下乡”活动中，某厂要将 $100\text{ 台}$洗衣机运往邻近的乡镇，现有 $4\text{ 辆}$甲型货车和 $8\text{ 辆}$乙型货车可供使用，每辆甲型货车运输费用 $400\text{ 元}$，可装洗衣机 $20\text{ 台}$；每辆乙型货车运输费用 $300\text{ 元}$，可装洗衣机 $10\text{ 台}$，若每辆至多只运一次，则该厂所花的最少运输费用为（ ）

过抛物线 $y^{2} = 2px$（$p > 0$）的对称轴上一点 $A(a,0)$（$a > 0$）的直线与抛物线相交于 $M$，$N$ 两点，自 $M$，$N$ 向直线 $l$：$x = -a$ 作垂线，垂足分别为 $M_{1}$，$N_{1}$.

(1) 当 $a = \frac{p}{2}$ 时，求证： $AM_{1} \perp AN_{1}$； (2) 记 $\triangle AMM_{1}$，$\triangle AM_{1}N_{1}$，$\triangle ANN_{1}$ 的面积分别为 $S_{1}$，$S_{2}$，$S_{3}$，是否存在 $\lambda$，使得对任意的 $a > 0$，都有 $S_{2}^{2} = \lambda S_{1}S_{3}$ 成立. 若存在，求出 $\lambda$ 的值；若不存在，说明理由.