数迹
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10数列★★☆☆☆
古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数，例如：
他们研究过图1中的 11，33，66，1010，⋯\cdots，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数；类似地，图2中的 11，44，99，16⋯16\cdots 这样的数称为正方形数. 下列数中既是三角形数又是正方形数的是（ ）
[c]{} [c]{}
A.
289289
B.
10241024
C.
12251225
D.
13781378

2009 · 湖北 · 理 · 第 10 题 · 选择题

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15数列★★★☆☆
已知数列 {an}\{a_{n}\} 满足：a1=ma_1 = m（mm 为正整数），
an+1={an2,当 an 为偶数时,3an+1,当 an 为奇数时.a_{n+1} = \begin{cases} \frac{a_n}{2}, & \text{当 } a_n \text{ 为偶数时},\\ 3a_n + 1, & \text{当 } a_n \text{ 为奇数时}. \end{cases}
若 a6=1a_6 = 1，则 mm 所有可能的取值为______.

2009 · 湖北 · 理 · 第 15 题 · 填空题

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19数列★★★★☆
已知 {an}\{a_{n}\} 的前 nn 项和 Sn=−an−(12)n−1+2S_{n} = -a_{n} - \left(\frac{1}{2}\right)^{n-1} + 2（nn 为正整数）.
(1) 令 bn=2nanb_{n} = 2^{n}a_{n}，求证数列 {bn}\{b_{n}\} 是等差数列，并求数列 {an}\{a_{n}\} 的通项公式； (2) 令 cn=n+1nanc_{n} = \frac{n + 1}{n} a_{n}，Tn=c1+c2+⋯+cnT_{n} = c_{1} + c_{2} + \cdots + c_{n}，试比较 TnT_{n} 与 5n2n+1\frac{5n}{2n + 1} 的大小，并予以证明.

2009 · 湖北 · 理 · 第 19 题 · 解答题

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