卫星和地面之间的电视信号沿直线传输，电视信号能够传送到达的地面区域，称为这个卫星的覆盖区域. 为了转播 2008 年北京奥运会，我国发射了“中星九号”广播电视直播卫星，它离地球表面的距离约为 $36000\mathrm{~km}$. 已知地球半径约为 $6400\mathrm{~km}$，则“中星九号”覆盖区域内的任意两点的球面距离的最大值约为______$\mathrm{km}$.（结果中保留反余弦的符号）

如图，四棱锥 $S-ABCD$ 的底面是正方形，$SD \perp$ 平面 $ABCD$，$SD = 2a$，$AD = \sqrt{2}a$，点 $E$ 是 $SD$ 上的点，且 $DE = \lambda a$（$0 < \lambda \leqslant 2$）.

(1) 求证：对任意的 $\lambda \in (0,2]$，都有 $AC \perp BE$； (2) 设二面角 $C-AE-D$ 的大小为 $\theta$. 直线 $BE$ 与平面 $ABCD$ 所成的角为 $\varphi$. 若 $\tan \theta \cdot \tan \varphi = 1$，求 $\lambda$ 的值.