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01三角函数★☆☆☆☆
tan⁡300∘+cot⁡405∘\tan 300^{\circ} + \cot 405^{\circ} 的值为（ ）
A.
1+31 + \sqrt{3}
B.
1−31 - \sqrt{3}
C.
−1−3-1 - \sqrt{3}
D.
−1+3-1 + \sqrt{3}

2001 · 全国 · 大纲卷 · 文 · 第 1 题 · 选择题

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02解析几何★★☆☆☆
过点 A(1,−1)A(1, -1)，B(−1,1)B(-1, 1) 且圆心在直线 x+y−2=0x + y - 2 = 0 上的圆的方程是（ ）
A.
(x−3)2+(y+1)2=4(x - 3)^2 + (y + 1)^2 = 4
B.
(x+3)2+(y−1)2=4(x + 3)^2 + (y - 1)^2 = 4
C.
(x−1)2+(y−1)2=4(x - 1)^2 + (y - 1)^2 = 4
D.
(x+1)2+(y+1)2=4(x + 1)^2 + (y + 1)^2 = 4

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03立体几何初步★★☆☆☆
若一个圆锥的轴截面积是等边三角形，其面积为 3\sqrt{3}，则这个圆锥的全面积是（ ）
A.
3π3\pi
B.
33π3\sqrt{3}\pi
C.
6π6\pi
D.
9π9\pi

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04指数函数与对数函数★★☆☆☆
若定义在区间 (−1,0)(-1,0) 内的函数 f(x)=log⁡2a(x+1)f(x) = \log_{2a}(x + 1) 满足 f(x)>0f(x) > 0，则 aa 的取值范围是（ ）
A.
(0,12)\left(0, \frac{1}{2}\right)
B.
(0,12]\left(0, \frac{1}{2}\right]
C.
(12,+∞)\left(\frac{1}{2},+\infty\right)
D.
(0,+∞)(0, +\infty)

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05复数★★☆☆☆
已知复数 z=2+6iz = \sqrt{2} + \sqrt{6}\mathrm{i}，则 arg⁡1z\arg \frac{1}{z} 是（ ）
A.
π3\frac{\pi}{3}
B.
5π3\frac{5\pi}{3}
C.
π6\frac{\pi}{6}
D.
11π6\frac{11\pi}{6}

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06指数函数与对数函数★★☆☆☆
函数 y=2−x+1y = 2^{-x} + 1（x>0x > 0）的反函数是（ ）
A.
y=log⁡21x−1y = \log_2\frac{1}{x - 1}（x∈(1,2)x \in (1,2)）
B.
y=−log⁡21x−1y = -\log_2\frac{1}{x - 1}（x∈(1,2)x \in (1,2)）
C.
y=log⁡21x−1y = \log_2\frac{1}{x - 1}（x∈(1,2]x \in (1,2]）
D.
y=−log⁡21x−1y = -\log_2\frac{1}{x - 1}（x∈(1,2]x \in (1,2]）

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07解析几何★★☆☆☆
若椭圆经过原点，且焦点为 F1(1,0)F_{1}(1,0)，F2(3,0)F_{2}(3,0)，则其离心率为（ ）
A.
34\frac{3}{4}
B.
23\frac{2}{3}
C.
12\frac{1}{2}
D.
14\frac{1}{4}

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08三角函数★★☆☆☆
若 0<α<β<π40 < \alpha < \beta < \frac{\pi}{4}，sin⁡α+cos⁡α=a\sin \alpha + \cos \alpha = a，sin⁡β+cos⁡β=b\sin \beta + \cos \beta = b，则（ ）
A.
a>ba > b
B.
a<ba < b
C.
ab<1ab < 1
D.
ab>2ab > 2

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09立体几何初步★★★☆☆
在正三棱柱 ABC−A1B1C1ABC - A_{1}B_{1}C_{1} 中，若 AB=2BB1AB = \sqrt{2} BB_{1}，则 AB1AB_{1} 与 C1BC_{1}B 所成的角的大小为（ ）
A.
60∘60^{\circ}
B.
90∘90^{\circ}
C.
45∘45^{\circ}
D.
120∘120^{\circ}

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10函数与初等函数★★★☆☆
设 f(x)f(x)，g(x)g(x) 都是单调函数，有如下四个命题中，正确的命题是
① 若 f(x)f(x) 单调递增，g(x)g(x) 单调递增，则 f(x)−g(x)f(x) - g(x) 单调递增； ② 若 f(x)f(x) 单调递增，g(x)g(x) 单调递减，则 f(x)−g(x)f(x) - g(x) 单调递增； ③ 若 f(x)f(x) 单调递减，g(x)g(x) 单调递增，则 f(x)−g(x)f(x) - g(x) 单调递减； ④ 若 f(x)f(x) 单调递减，g(x)g(x) 单调递减，则 f(x)−g(x)f(x) - g(x) 单调递减.
（ ）
A.
\circled1\circled3\circled{1}\circled{3}
B.
\circled1\circled4\circled{1}\circled{4}
C.
\circled2\circled3\circled{2}\circled{3}
D.
\circled2\circled4\circled{2}\circled{4}

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11立体几何初步★★★☆☆
一间平房的屋顶有如图三种不同的盖法，分别是：
① 单向倾斜； ② 双向倾斜； ③ 四向倾斜.
记三种盖法屋顶面积分别为 P1P_{1}，P2P_{2}，P3P_{3}. 若屋顶斜面与水平面所成的角都是 α\alpha，则（ ）
A.
P3>P2>P1P_{3} > P_{2} > P_{1}
B.
P3>P2=P1P_{3} > P_{2} = P_{1}
C.
P3=P2>P1P_{3} = P_{2} > P_{1}
D.
P3=P2=P1P_{3} = P_{2} = P_{1}

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12计数原理与组合数学★★★☆☆
如图，小圆圈表示网络的结点，结点之间的连线表示它们有网线相联，连线标注的数字表示该段网线单位时间内可以通过的最大信息量，现从结点 AA 向结点 BB 传递信息，信息可以分开沿不同的路线同时传递，则单位时间内传递的最大信息量为（ ）
A.
2626
B.
2424
C.
2020
D.
1919

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13计数原理与组合数学★☆☆☆☆
(12x+1)10\left(\frac{1}{2} x + 1\right)^{10} 的二项展开式中 x3x^{3} 的系数为______.

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14解析几何★★★☆☆
双曲线 x29−y216=1\frac{x^{2}}{9}-\frac{y^{2}}{16}=1 的两个焦点为 F1F_{1}，F2F_{2}，点 PP 在双曲线上，若 PF1⊥PF2PF_{1} \perp PF_{2}，则点 PP 到 xx 轴的距离为______.

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15数列★★☆☆☆
设 {an}\{a_{n}\} 是公比为 qq 的等比数列，SnS_{n} 是它的前 nn 项和. 若 {Sn}\{S_{n}\} 是等差数列，则 q=q =______.

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16计数原理与组合数学★★★☆☆
圆周上有 2n2n 个等分点（n>1n > 1），以其中三个点为顶点的直角三角形的个数为______.

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17数列★★★☆☆
已知等差数列前三项为 aa，44，3a3a，前 nn 项的和为 SnS_{n}，Sk=2550S_{k} = 2550.
(1) 求 aa 及 kk 的值； (2) 求 lim⁡n→∞(1S1+1S2+⋯+1Sn)\displaystyle\lim_{n\to\infty}\left(\frac{1}{S_{1}}+\frac{1}{S_{2}}+\cdots+\frac{1}{S_{n}}\right).

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18立体几何初步★★★☆☆
如图，在底面是直角梯形的四棱锥 S−ABCDS - ABCD 中，∠ABC=90∘\angle ABC = 90^{\circ}，SA⊥SA \perp 面 ABCDABCD，SA=AB=BC=1SA = AB = BC = 1，AD=12AD = \frac{1}{2}.
(1) 求四棱锥 S−ABCDS - ABCD 的体积； (2) 求面 SCDSCD 与面 SBASBA 所成的二面角的正切值.

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19三角函数★★★☆☆
已知圆内接四边形 ABCDABCD 的边长分别为 AB=2AB = 2，BC=6BC = 6，CD=DA=4CD = DA = 4，求四边形 ABCDABCD 的面积.

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20解析几何★★★☆☆
设抛物线 y2=2pxy^{2} = 2px（p>0p > 0）的焦点为 FF，经过点 FF 的直线交抛物线于 AA，BB 两点. 点 CC 在抛物线的准线上，且 BC∥xBC \parallel x 轴. 证明直线 ACAC 经过原点 OO.

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21不等式★★★☆☆
设计一幅宣传画，要求画面面积为 4840 cm24840 \mathrm{~cm}^{2}，画面的宽与高的比为 λ\lambda（λ<1\lambda < 1），画面的上、下各留 8 cm8 \mathrm{~cm} 空白，左、右各留 5 cm5 \mathrm{~cm} 空白. 怎样确定画面的高与宽尺寸，能使宣传画所用纸张面积最小？

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22函数与初等函数★★★☆☆
设 f(x)f(x) 是定义在 R\mathbf{R} 上的偶函数，其图象关于直线 x=1x = 1 对称，对任意 x1x_{1}，x2∈[0,12]x_{2} \in \left[0, \frac{1}{2}\right]，都有 f(x1+x2)=f(x1)⋅f(x2)f(x_{1} + x_{2}) = f(x_{1}) \cdot f(x_{2}).
(1) 设 f(1)=2f(1)=2，求 f(12)f\left(\frac{1}{2}\right)，f(14)f\left(\frac{1}{4}\right)； (2) 证明：f(x)f(x) 是周期函数.

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