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01集合与逻辑基础★☆☆☆☆
已知集合 A={1,2,3,4}A = \{1, 2, 3, 4\}，那么 AA 的真子集的个数是（ ）
A.
1515
B.
1616
C.
33
D.
44

2000 · 广东 · 第 1 题 · 选择题

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02复数★★☆☆☆
在复平面内，把复数 3−3i3 - \sqrt{3}\mathrm{i} 对应的向量按顺时针方向旋转 π3\frac{\pi}{3}，所得向量对应的复数是（ ）
A.
232\sqrt{3}
B.
−23i-2\sqrt{3}\mathrm{i}
C.
3−3i\sqrt{3} - 3\mathrm{i}
D.
3+3i3 + \sqrt{3}\mathrm{i}

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03立体几何初步★★☆☆☆
一个长方体共一顶点的三个面的面积分别是 2\sqrt{2}，3\sqrt{3}，6\sqrt{6}，这个长方体对角线的长是（ ）
A.
232 \sqrt{3}
B.
323\sqrt{2}
C.
66
D.
6\sqrt{6}

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04三角函数★★☆☆☆
已知 sin⁡α>sin⁡β\sin \alpha > \sin \beta，那么下列命题成立的是（ ）
A.
若 α\alpha、β\beta 是第一象限角，则 cos⁡α>cos⁡β\cos \alpha > \cos \beta
B.
若 α\alpha、β\beta 是第二象限角，则 tan⁡α>tan⁡β\tan \alpha > \tan \beta
C.
若 α\alpha、β\beta 是第三象限角，则 cos⁡α>cos⁡β\cos \alpha > \cos \beta
D.
若 α\alpha、β\beta 是第四象限角，则 tan⁡α>tan⁡β\tan \alpha > \tan \beta

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05函数与初等函数★★☆☆☆
函数 y=−xcos⁡xy = -x \cos x 的部分图象是（ ）
A.
B.
C.
D.

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06函数与初等函数★★☆☆☆
《中华人民共和国个人所得税法》规定，公民全月工资、薪金所得不超过 800 元800\text{ 元} 的部分不必纳税. 超过 800 元800\text{ 元} 的部分为全月应纳税所得额，此项税款按下列标准分段累进计算：
某人一月份交纳此项税款 26.78 元26.78\text{ 元}，则他的当月工资、薪金所得介于（ ）
A.
800 元−900 元800\text{ 元} - 900\text{ 元}
B.
900 元−1200 元900\text{ 元} - 1200\text{ 元}
C.
1200 元−1500 元1200\text{ 元} - 1500\text{ 元}
D.
1500 元−2800 元1500\text{ 元} - 2800\text{ 元}

2000 · 广东 · 第 6 题 · 选择题

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07不等式★★★☆☆
若 a>b>1a > b > 1，P=lg⁡a⋅lg⁡bP = \sqrt{\lg a \cdot \lg b}，Q=12(lg⁡a+lg⁡b)Q = \frac{1}{2} (\lg a + \lg b)，R=lg⁡(a+b2)R = \lg \left(\frac{a + b}{2}\right)，则（ ）
A.
R<P<QR < P < Q
B.
P<Q<RP < Q < R
C.
Q<P<RQ < P < R
D.
P<R<QP < R < Q

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08解析几何★★★☆☆
以极坐标系中的点 (1,1)(1,1) 为圆心，11 为半径的圆的方程是（ ）
A.
ρ=2cos⁡(θ−π4)\rho = 2\cos \left(\theta -\frac{\pi}{4}\right)
B.
ρ=2sin⁡(θ−π4)\rho = 2\sin \left(\theta -\frac{\pi}{4}\right)
C.
ρ=2cos⁡(θ−1)\rho = 2\cos (\theta -1)
D.
ρ=2sin⁡(θ−1)\rho = 2\sin (\theta -1)

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09立体几何初步★★☆☆☆
一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，这个圆柱的全面积与侧面积的比例是（ ）
A.
1+2π2π\frac{1 + 2\pi}{2\pi}
B.
1+4π4π\frac{1 + 4\pi}{4\pi}
C.
1+2ππ\frac{1 + 2\pi}{\pi}
D.
1+4π2π\frac{1 + 4\pi}{2\pi}

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10解析几何★★☆☆☆
过原点的直线与圆 x2+y2+4x+3=0x^{2} + y^{2} + 4x + 3 = 0 相切，若切点在第三象限，则该直线的方程是（ ）
A.
y=3xy = \sqrt{3} x
B.
y=−3xy = -\sqrt{3} x
C.
y=33xy = \frac{\sqrt{3}}{3} x
D.
y=−33xy = -\frac{\sqrt{3}}{3} x

2000 · 广东 · 第 10 题 · 选择题

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11解析几何★★★☆☆
过抛物线 y=ax2y = ax^{2}（a>0a > 0）的焦点 FF 作一直线交抛物线于 PP，QQ 两点，若线段 PFPF 与 FQFQ 的长分别是 pp，qq，则 1p+1q\frac{1}{p} + \frac{1}{q} 等于（ ）
A.
2a2a
B.
12a\frac{1}{2a}
C.
4a4a
D.
4a\frac{4}{a}

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12立体几何初步★★★★☆
如图，OAOA 是圆锥底面中心 OO 到母线的垂线，OAOA 绕轴旋转一周所得曲面将圆锥分成体积相等的两部分，则母线与轴的夹角的余弦值为（ ）
A.
123\frac{1}{\sqrt[3]{2}}
B.
12\frac{1}{2}
C.
12\frac{1}{\sqrt{2}}
D.
124\frac{1}{\sqrt[4]{2}}

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13计数原理与组合数学★★☆☆☆
乒乓球队的 1010 名队员中有 33 名主力队员，派 55 名参加比赛，33 名主力队员要安排在第一，三，五位置，其余 77 名队员选 22 名安排在第二，四位置，那么不同的出场安排共有______ 种（用数字作答）.

2000 · 广东 · 第 13 题 · 填空题

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14解析几何★★★☆☆
椭圆 x29+y24=1\frac{x^{2}}{9} + \frac{y^{2}}{4} = 1 的焦点 F1F_{1}，F2F_{2}，点 PP 为其上的动点，当 ∠F1PF2\angle F_{1}PF_{2} 为钝角时，点 PP 横坐标的取值范围是______.

2000 · 广东 · 第 14 题 · 填空题

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15数列★★★☆☆
设 {an}\{a_{n}\} 是首项为 11 的正项数列，且 (n+1)an+12−nan2+an+1an=0(n+1)a_{n+1}^{2} - na_{n}^{2} + a_{n+1}a_{n} = 0（n=1n=1，22，33，…\ldots），则它的通项公式是 an=a_{n}=______.

2000 · 广东 · 第 15 题 · 填空题

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16立体几何初步★★★☆☆
如图，EE，FF 分别为正方体面 ADD1A1ADD_{1}A_{1}，面 BCC1B1BCC_{1}B_{1} 的中心，则四边形 BFD1EBFD_{1}E 在该正方体的面上的射影可能是______.
（要求：把可能的图序号都填上）

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17三角函数★★★☆☆
已知函数 y=3sin⁡x+cos⁡xy = \sqrt{3}\sin x + \cos x，x∈Rx \in \mathbf{R}.
(1) 当函数 yy 取得最大值时，求自变量 xx 的集合； (2) 该函数的图象可由 y=sin⁡xy = \sin x（x∈Rx \in \mathbf{R}）的图象经过怎样的平移和伸缩变换得到？

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18数列★★★☆☆
设 {an}\{a_{n}\} 为等比数列，Tn=na1+(n−1)a2+⋯+2an−1+anT_{n} = na_{1} + (n - 1)a_{2} + \cdots + 2a_{n-1} + a_{n}，已知 T1=1T_{1} = 1，T2=4T_{2} = 4.
(1) 求数列 {an}\{a_{n}\} 的首项和公比； (2) 求数列 {Tn}\{T_{n}\} 的通项公式.

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19立体几何初步★★★★☆
如图，已知平行六面体 ABCD−A1B1C1D1ABCD - A_{1}B_{1}C_{1}D_{1} 的底面 ABCDABCD 是菱形，且 ∠C1CB=∠C1CD=∠BCD\angle C_{1}CB = \angle C_{1}CD = \angle BCD.
(1) 证明：C1C⊥BDC_{1}C \perp BD； (2) 当 CDCC1\frac{CD}{CC_{1}} 的值为多少时，能使 A1C⊥A_{1}C \perp 平面 C1BDC_{1}BD？请给出证明.

2000 · 广东 · 第 19 题 · 解答题

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20不等式★★★★☆
设函数 f(x)=x2+1−axf(x) = \sqrt{x^2 + 1} - ax，其中 a>0a > 0.
(1) 解不等式 f(x)⩽1f(x) \leqslant 1； (2) 证明：当 a⩾1a \geqslant 1 时，函数 f(x)f(x) 在区间 [0,+∞)\left[0,+\infty\right) 上是单调函数.

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21函数与初等函数★★★★☆
某蔬菜基地种植西红柿，由历年市场行情得知，从二月一日起的 300300 天内，西红柿市场售价与上市时间的关系用图一的一条折线表示；西红柿的种植成本与上市时间的关系用图二的抛物线段表示.
(1) 写出图一表示的市场售价与时间的函数关系式 P=f(t)P = f(t) 和图二表示的种植成本与时间的函数关系式 Q=g(t)Q = g(t)； (2) 认定市场售价减去种植成本为纯收益，问何时上市的西红柿纯收益最大？
注：市场售价与种植成本的单位：元/102 kg\text{元}/10^{2}\mathrm{~kg}，时间单位：天\text{天}.

2000 · 广东 · 第 21 题 · 解答题

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22解析几何★★★★☆
如图，已知梯形 ABCDABCD 中 ∣AB∣=2∣CD∣|AB| = 2|CD|，点 EE 分有向线段 AC→\overrightarrow{AC} 所成的比为 λ\lambda，双曲线过 CC，DD，EE 三点，且以 AA，BB 为焦点，当 23⩽λ⩽34\frac{2}{3} \leqslant \lambda \leqslant \frac{3}{4} 时，求双曲线离心率 ee 的取值范围.

2000 · 广东 · 第 22 题 · 解答题

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