设 $\{a_n\}$ 为等差数列，已知 $a_1=1$，$a_5$ 与 $a_6$ 的算术平均数为 $19$，则该等差数列的公差为______.

设复平面上有一系列向量 $\overrightarrow{OZ_n}$（$n=0$，$1$，$2$，$\dots$）满足如下关系：将 $\overrightarrow{OZ_n}$ 按逆时针方向旋转 $\frac{3}{4}\pi$ 后，再把它的模变为原来的一半，得到 $\overrightarrow{OZ_{n+1}}$. 记 $\overrightarrow{OZ_n}$ 所对应的复数为 $z_n$（$n=0$，$1$，$2$，$\dots$），并设这一变换所对应的复数为 $z$. 若 $z_0=2\sqrt{2}+2\sqrt{2}\mathrm{i}$，其中 $\mathrm{i}$ 为虚数单位，求：

(1) $z$； (2) $n$ 为何值时，$z_n$ 为实数？将所有等于实数的 $z_n$ 按原有次序排成数列 $\{a_n\}$，写出该数列的通项公式； (3) $\displaystyle\lim_{k\to\infty}\left(a_1+a_2+\cdots+a_k\right)$.