已知双曲线 $\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{6-a^2}=1$（$a>0$） 的左，右焦点分别为 $F_1$，$F_2$. 通过 $F_2$ 且倾斜角为 $\dfrac\pi3$ 的直线与双曲线交于第一象限的点 $A$，延长 $AF_2$ 至 $B$ 使得 $AB=AF_1$. 若 $\triangle BF_1F_2$ 的面积为 $3\sqrt6$，则 $a=\underline{\hspace{2em}}$.

如图，正方形 $ABCD$ 是一块边长为 $4$ 的工程用料，阴影部分是被腐蚀的区域，其余部分完好，曲线 $MN$ 为以 $AD$ 为对称轴的抛物线的一部分，且 $DM=DN=3$. 工人师傅现要从完好的部分中截取一块矩形原料 $BQPR$，当其面积有最大值时，$AQ$ 的长为______.

在平面直角坐标系中，已知曲线 $\Gamma:\dfrac{x^2}{4}+y^2=1$（$y\ge0$），点 $P$，$Q$ 分别为 $\Gamma$ 上不同的两点，$T(t,0)$.

(1) 求 $\Gamma$ 所在椭圆的离心率； (2) 若 $T(1,0)$，$Q$ 在 $y$ 轴上，且 $T$ 到直线 $PQ$ 的距离为 $\dfrac{\sqrt5}{5}$，求 $P$ 的坐标； (3) 是否存在 $t$，使得 $\triangle TPQ$ 是以 $T$ 为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，求 $t$ 的取值范围；若不存在，请说明理由.