如图，正方形 $ABCD$ 是一块边长为 $4$ 的工程用料，阴影部分是被腐蚀的区域，其余部分完好，曲线 $MN$ 为以 $AD$ 为对称轴的抛物线的一部分，且 $DM=DN=3$. 工人师傅现要从完好的部分中截取一块矩形原料 $BQPR$，当其面积有最大值时，$AQ$ 的长为______.

已知函数 $y=f(x)$ 的定义域是 $D$. 对于 $t\in D$，定义集合 $S_f(t)=\{x\mid f(x)\ge f(t)\}$.

(1) $f(x)=\log_2x$，求 $S_f(16)$； (2) 对于集合 $A$，若对任意 $x\in A$ 都有 $-x\in A$，则称 $A$ 是对称集. 若 $D$ 是对称集，证明：“函数 $y=f(x)$ 是偶函数”的充要条件是“对任意 $t\in D$，$S_f(t)$ 是对称集”； (3) 若 $x\in\mathbf{R}$，$f(x)=\mathrm{e}^x-\dfrac12mx^2$. 求 $m$ 的取值范围，使得对于任意 $t_1<t_2\in D$，都有 $S_f(t_2)\subseteq S_f(t_1)$.