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01集合与逻辑基础★☆☆☆☆
i\mathrm{i} 是虚数单位，若集合 S={−1,0,1}S = \{-1, 0, 1\}，则（ ）
A.
i∈S\mathrm{i} \in S
B.
i2∈S\mathrm{i}^2\in S
C.
i3∈S\mathrm{i}^3\in S
D.
2i∈S\frac{2}{\mathrm{i}} \in S

2011 · 福建 · 理 · 第 1 题 · 选择题

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02集合与逻辑基础★☆☆☆☆
若 a∈Ra \in \mathbf{R}，则 “a=2a = 2” 是 “(a−1)(a−2)=0(a - 1)(a - 2) = 0” 的（ ）
A.
充分而不必要条件
B.
必要而不充分条件
C.
充要条件
D.
既不充分也不必要条件

2011 · 福建 · 理 · 第 2 题 · 选择题

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03三角函数★☆☆☆☆
若 tan⁡α=3\tan \alpha = 3，则 sin⁡2αcos⁡2α\frac{\sin 2\alpha}{\cos^2 \alpha} 的值等于（ ）
A.
2
B.
3
C.
4
D.
6

2011 · 福建 · 理 · 第 3 题 · 选择题

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04概率与统计★☆☆☆☆
如图，矩形 ABCDABCD 中，点 EE 为边 CDCD 的中点，若在矩形 ABCDABCD 内部随机取一个点 QQ，则点 QQ 取自 △ABE\triangle ABE 内部的概率等于（ ）
A.
14\frac{1}{4}
B.
13\frac{1}{3}
C.
12\frac{1}{2}
D.
23\frac{2}{3}

2011 · 福建 · 理 · 第 4 题 · 选择题

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05导数及其应用★☆☆☆☆
∫01(ex+2x)dx\int_{0}^{1}\left(\mathrm{e}^{x} + 2x\right)\mathrm{d}x 等于（ ）
A.
1
B.
\e - 1
C.
\e
D.
\e + 1

2011 · 福建 · 理 · 第 5 题 · 选择题

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06计数原理与组合数学★☆☆☆☆
(1+2x)5(1 + 2x)^{5} 的展开式中，x2x^{2} 的系数等于（ ）
A.
80
B.
40
C.
20
D.
10

2011 · 福建 · 理 · 第 6 题 · 选择题

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07解析几何★★★☆☆
设圆锥曲线 TT 的两个焦点分别为 F1F_{1}，F2F_{2}. 若曲线 TT 上存在点 PP 满足 ∣PF1∣:∣F1F2∣:∣PF2∣=4:3:2|PF_{1}|: |F_{1}F_{2}|: |PF_{2}| = 4:3:2，则曲线 TT 的离心率等于（ ）
A.
12\frac{1}{2} 或 32\frac{3}{2}
B.
23\frac{2}{3} 或 2
C.
12\frac{1}{2} 或 2
D.
23\frac{2}{3} 或 32\frac{3}{2}

2011 · 福建 · 理 · 第 7 题 · 选择题

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08平面向量★★★☆☆
已知 OO 是坐标原点，点 A(−1,1)A(-1,1)，若点 M(x,y)M(x,y) 为平面区域
{x+y⩾2,x⩽1,y⩽2\begin{cases} x+y\geqslant 2,\\ x\leqslant 1,\\ y\leqslant 2 \end{cases}
上的一个动点，则 OA→⋅OM→\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OM} 的取值范围是（ ）
A.
[−1,0][-1,0]
B.
[0,1][0,1]
C.
[0,2][0,2]
D.
[−1,2][-1,2]

2011 · 福建 · 理 · 第 8 题 · 选择题

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09函数与初等函数★★★☆☆
对于函数 f(x)=asin⁡x+bx+cf(x)=a\sin x+bx+c（其中 aa，b∈Rb\in\mathbf{R}，c∈Zc\in\mathbf{Z}），选取 aa，bb，cc 的一组值计算 f(1)f(1) 和 f(−1)f(-1)，所得出的正确结果一定不可能是（ ）
A.
4 和 6
B.
3 和 1
C.
2 和 4
D.
1 和 2

2011 · 福建 · 理 · 第 9 题 · 选择题

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10函数与初等函数★★★★☆
已知函数 f(x)=ex+xf(x)=\mathrm{e}^{x}+x. 对于曲线 y=f(x)y=f(x) 上横坐标成等差数列的三个点 AA，BB，CC，给出以下判断：
① △ABC\triangle ABC 一定是钝角三角形； ② △ABC\triangle ABC 可能是直角三角形； ③ △ABC\triangle ABC 可能是等腰三角形； ④ △ABC\triangle ABC 不可能是等腰三角形.
其中，正确的判断是（ ）
A.
①③
B.
①④
C.
②③
D.
②④

2011 · 福建 · 理 · 第 10 题 · 选择题

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11数列★☆☆☆☆
运行如图所示的程序，输出的结果是______.

2011 · 福建 · 理 · 第 11 题 · 填空题

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12立体几何初步★★☆☆☆
三棱锥 P−ABCP - ABC 中，PA⊥PA \perp 底面 ABCABC，PA=3PA = 3，底面 ABCABC 是边长为 22 的正三角形，则三棱锥 P−ABCP - ABC 的体积等于______.

2011 · 福建 · 理 · 第 12 题 · 填空题

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13概率与统计★★☆☆☆
盒中装有形状，大小完全相同的 55 个球，其中红色球 33 个，黄色球 22 个. 若从中随机取出 22 个球，则所取出的 22 个球颜色不同的概率等于______.

2011 · 福建 · 理 · 第 13 题 · 填空题

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14三角函数★★☆☆☆
如图，△ABC\triangle ABC 中，AB=AC=2AB = AC = 2，BC=23BC = 2\sqrt{3}，点 DD 在 BCBC 边上，∠ADC=45∘\angle ADC = 45^\circ，则 ADAD 的长度等于______.

2011 · 福建 · 理 · 第 14 题 · 填空题

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15平面向量★★★☆☆
设 VV 是全体平面向量构成的集合. 若映射 f:V→Rf:V\to\mathbf{R} 满足：对任意向量 a=(x1,y1)∈Va=(x_1,y_1)\in V，b=(x2,y2)∈Vb=(x_2,y_2)\in V，以及任意 λ∈R\lambda\in\mathbf{R}，均有 f(λa+(1−λ)b)=λf(a)+(1−λ)f(b)f\left(\lambda a+(1-\lambda)b\right)=\lambda f(a)+(1-\lambda)f(b)，则称映射 ff 具有性质 PP. 现给出如下映射：
① f1:V→Rf_1:V\to\mathbf{R}，f1(m)=x−yf_1(m)=x-y，m=(x,y)∈Vm=(x,y)\in V； ② f2:V→Rf_2:V\to\mathbf{R}，f2(m)=x2+yf_2(m)=x^2+y，m=(x,y)∈Vm=(x,y)\in V； ③ f3:V→Rf_3:V\to\mathbf{R}，f3(m)=x+y+1f_3(m)=x+y+1，m=(x,y)∈Vm=(x,y)\in V.
其中，具有性质 PP 的映射的序号为______（写出所有具有性质 PP 的映射的序号）.

2011 · 福建 · 理 · 第 15 题 · 填空题

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16数列★★☆☆☆
已知等比数列 {an}\{a_n\} 的公比 q=3q=3，前 33 项和 S3=133S_3=\frac{13}{3}.
(1) 求数列 {an}\{a_n\} 的通项公式； (2) 若函数 f(x)=Asin⁡(2x+φ)f(x)=A\sin\left(2x+\varphi\right)（A>0A>0，0<φ<π0<\varphi<\pi）在 x=π6x=\frac{\pi}{6} 处取得最大值，且最大值为 a3a_3，求函数 f(x)f(x) 的解析式.

2011 · 福建 · 理 · 第 16 题 · 解答题

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17解析几何★★★☆☆
已知直线 l:y=x+ml:y=x+m，m∈Rm\in\mathbf{R}.
(1) 若以点 M(2,0)M(2,0) 为圆心的圆与直线 ll 相切于点 PP，且点 PP 在 yy 轴上，求该圆的方程； (2) 若直线 ll 关于 xx 轴对称的直线为 l′l'，问直线 l′l' 与抛物线 C:x2=4yC:x^2=4y 是否相切？说明理由.

2011 · 福建 · 理 · 第 17 题 · 解答题

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18导数及其应用★★★☆☆
某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量 yy（单位：千克）与销售价格 xx（单位：元/千克）满足关系式 y=ax−3+10(x−6)2y=\frac{a}{x-3}+10(x-6)^2，其中 3<x<63<x<6，aa 为常数. 已知销售价格为 5 元/千克5\text{ 元/千克} 时，每日可售出该商品 11 千克11\text{ 千克}.
(1) 求 aa 的值； (2) 若该商品的成本为 3 元/千克3\text{ 元/千克}，试确定销售价格 xx 的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大.

2011 · 福建 · 理 · 第 18 题 · 解答题

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19概率与统计★★★☆☆
某产品按行业生产标准分成 88 个等级，等级系数 XX 依次为 11，22，…\dots，88，其中 X⩾5X\geqslant 5 为标准 AA，X⩾3X\geqslant 3 为标准 BB. 已知甲厂执行标准 AA 生产该产品，产品的零售价为 6 元/件6\text{ 元/件}；乙厂执行标准 BB 生产该产品，产品的零售价为 4 元/件4\text{ 元/件}，假定甲，乙两厂的产品都符合相应的执行标准.
(1) 已知甲厂产品的等级系数 X1X_1 的概率分布如下表所示：
且 E(X1)=6E(X_1)=6. 求 aa，bb 的值； (2) 为分析乙厂产品的等级系数 X2X_2，从该厂生产的产品中随机抽取 3030 件，相应的等级系数组成一个样本. 数据如下：
3533855634
6347534853
8343447567
用这个样本的频率分布估计总体分布，将频率视为概率，求等级系数 X2X_2 的数学期望； (3) 在前两问的条件下，若以“性价比”为判断标准，则哪个工厂的产品更具可购买性？说明理由.
注：
① 产品的“性价比”=产品的等级系数的数学期望产品的零售价=\frac{\text{产品的等级系数的数学期望}}{\text{产品的零售价}}； ② “性价比”大的产品更具可购买性.

2011 · 福建 · 理 · 第 19 题 · 解答题

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20立体几何初步★★★★☆
如图，四棱锥 P−ABCDP-ABCD 中，PA⊥PA\perp 底面 ABCDABCD，四边形 ABCDABCD 中，AB⊥ADAB\perp AD，AB+AD=4AB+AD=4，CD=2CD=\sqrt{2}，∠CDA=45∘\angle CDA=45^\circ.
(1) 求证：平面 PAB⊥PAB\perp 平面 PADPAD； (2) 设 AB=APAB=AP.
(i) 若直线 PBPB 与平面 PCDPCD 所成的角为 30∘30^\circ，求线段 ABAB 的长； (ii) 在线段 ADAD 上是否存在一个点 GG，使得点 GG 到点 PP，BB，CC，DD 的距离都相等？说明理由.

2011 · 福建 · 理 · 第 20 题 · 解答题

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21解析几何★★☆☆☆
设矩阵
M=(a00b)M = \begin{pmatrix} a & 0 \\ 0 & b \end{pmatrix}
（其中 a>0a > 0，b>0b > 0）
(1) 若 a=2a = 2，b=3b = 3，求矩阵 MM 的逆矩阵 M−1M^{-1}； (2) 若曲线 C:x2+y2=1C: x^{2} + y^{2} = 1 在矩阵 MM 所对应的线性变换作用下得到曲线 C′:x24+y2=1C' : \frac{x^{2}}{4} + y^{2} = 1，求 aa，bb 的值.

2011 · 福建 · 理 · 第 21 题 · 解答题

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22解析几何★★★☆☆
在直角坐标系 xOyxOy 中，直线 ll 的方程为 x−y+4=0x-y+4=0，曲线 CC 的参数方程为
{x=3cos⁡α,y=sin⁡α\begin{cases} x=\sqrt{3}\cos\alpha,\\ y=\sin\alpha \end{cases}
（α\alpha 为参数）.
(1) 已知在极坐标（与直角坐标系 xOyxOy 取相同的长度单位，且以原点 OO 为极点，以 xx 轴正半轴为极轴）中，点 PP 的极坐标为 (4,π2)\left(4,\frac{\pi}{2}\right)，判断点 PP 与直线 ll 的位置关系； (2) 设点 QQ 是曲线 CC 上的一个动点，求它到直线 ll 的距离的最小值.

2011 · 福建 · 理 · 第 22 题 · 解答题

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23不等式★☆☆☆☆
设不等式 ∣2x−1∣<1|2x-1|<1 的解集为 MM.
(1) 求集合 MM； (2) 若 aa，b∈Mb\in M，试比较 ab+1ab+1 与 a+ba+b 的大小.

2011 · 福建 · 理 · 第 23 题 · 解答题

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