设 $f(x) = \lg \frac{2 + x}{2 - x}$，则 $f\left(\frac{x}{2}\right) + f\left(\frac{2}{x}\right)$ 的定义域为（ ）

关于 $x$ 的方程 $(x^{2} - 1)^{2} - |x^{2} - 1| + k = 0$，给出下列四个命题：

① 存在实数 $k$，使得方程恰有 $2$ 个不同的实根； ② 存在实数 $k$，使得方程恰有 $4$ 个不同的实根； ③ 存在实数 $k$，使得方程恰有 $5$ 个不同的实根； ④ 存在实数 $k$，使得方程恰有 $8$ 个不同的实根.

其中假命题的个数是（ ）