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01三角函数★☆☆☆☆
已知 cos⁡θ⋅tan⁡θ<0\cos \theta \cdot \tan \theta < 0，那么角 θ\theta 是（ ）
A.
第一或第二象限角
B.
第二或第三象限角
C.
第三或第四象限角
D.
第一或第四象限角

2007 · 北京 · 理 · 第 1 题 · 选择题

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02指数函数与对数函数★☆☆☆☆
函数 f(x)=3xf(x)=3^x（0<x⩽20 < x \leqslant 2）的反函数的定义域为（ ）
A.
(0,+∞)(0, +\infty)
B.
(1,9](1, 9]
C.
(0,1)(0,1)
D.
[9,+∞)[9, +\infty)

2007 · 北京 · 理 · 第 2 题 · 选择题

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03立体几何初步★★★☆☆
平面 α∥β\alpha \parallel \beta 的一个充分条件是（ ）
A.
存在一条直线 aa，a∥αa \parallel \alpha，a∥βa \parallel \beta
B.
存在一条直线 aa，a⊂αa \subset \alpha，a∥βa \parallel \beta
C.
存在两条平行直线 aa，bb，a⊂αa \subset \alpha，b⊂βb \subset \beta，a∥βa \parallel \beta，b∥αb \parallel \alpha
D.
存在两条异面直线 aa，bb，a⊂αa \subset \alpha，b⊂βb \subset \beta，a∥βa \parallel \beta，b∥αb \parallel \alpha

2007 · 北京 · 理 · 第 3 题 · 选择题

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04平面向量★★☆☆☆
已知 OO 是 △ABC\triangle ABC 所在平面内一点，DD 为 BCBC 边中点，且 2OA→+OB→+OC→=02\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC} = 0，那么（ ）
A.
AO→=OD→\overrightarrow{AO} = \overrightarrow{OD}
B.
AC→=2OD→\overrightarrow{AC} = 2\overrightarrow{OD}
C.
AC→=3OD→\overrightarrow{AC} = 3\overrightarrow{OD}
D.
2AO→=OD→2\overrightarrow{AO} = \overrightarrow{OD}

2007 · 北京 · 理 · 第 4 题 · 选择题

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05计数原理与组合数学★★☆☆☆
记者要为 55 名志愿者和他们帮助的 22 位老人拍照. 要求排成一排，22 位老人相邻但不得在两端. 不同的排法共有（ ）
A.
14401440 种
B.
960960 种
C.
720720 种
D.
480480 种

2007 · 北京 · 理 · 第 5 题 · 选择题

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06不等式★★★☆☆
若不等式组
{x−y⩾0,2x+y⩽2,y⩾0,x+y⩽a\begin{cases} x-y&\geqslant0,\\ 2x+y&\leqslant2,\\ y&\geqslant0,\\ x+y&\leqslant a \end{cases}
表示的平面区域是一个三角形，则 aa 的取值范围是（ ）
A.
a⩾43a \geqslant \frac{4}{3}
B.
0<a⩽10 < a \leqslant 1
C.
1⩽a⩽431 \leqslant a \leqslant \frac{4}{3}
D.
0<a⩽10 < a \leqslant 1 或 a⩾43a \geqslant \frac{4}{3}

2007 · 北京 · 理 · 第 6 题 · 选择题

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07不等式★★☆☆☆
如果正数 aa，bb，cc，dd 满足 a+b=cd=4a + b = cd = 4. 那么（ ）
A.
ab⩽c+dab \leqslant c + d，且等号成立时 a,b,c,da, b, c, d 的取值唯一
B.
ab≥c+dab \geq c + d，且等号成立时 aa，bb，cc，dd 的取值唯一
C.
ab⩽c+dab \leqslant c + d，且等号成立时 aa，bb，cc，dd 的取值不唯一
D.
ab⩾c+dab \geqslant c + d，且等号成立时 aa，bb，cc，dd 的取值不唯一

2007 · 北京 · 理 · 第 7 题 · 选择题

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08函数与初等函数★★★★☆
对于函数
① f(x)=lg⁡(∣x−2∣+1)f(x)=\lg(|x-2|+1)； ② f(x)=(x−2)2f(x)=(x-2)^2； ③ f(x)=cos⁡(x+2)f(x)=\cos(x+2).
判断如下三个命题的真假：
命题甲：f(x+2)f(x+2) 是偶函数；
命题乙：f(x)f(x) 在 (−∞,2)(-\infty,2) 上是减函数，在 (2,+∞)(2,+\infty) 上是增函数；
命题丙：f(x+2)−f(x)f(x+2)-f(x) 在 (−∞,+∞)(-\infty,+\infty) 上是增函数.
能使命题甲，乙，丙均为真的所有函数的序号是（ ）
A.
①③
B.
①②
C.
③
D.
②

2007 · 北京 · 理 · 第 8 题 · 选择题

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09复数★☆☆☆☆
2(1+i)2=\frac{2}{(1 + \mathrm{i})^2} =______.

2007 · 北京 · 理 · 第 9 题 · 填空题

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10数列★★☆☆☆
若数列 {an}\{a_{n}\} 的前 nn 项和 Sn=n2−10nS_{n}=n^{2}-10n（n=1n=1，22，33，⋯\cdots），则此数列的通项公式为______；数列 {nan}\{na_{n}\} 中数值最小的项是第______ 项.

2007 · 北京 · 理 · 第 10 题 · 填空题

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11三角函数★★☆☆☆
在 △ABC\triangle ABC 中，若 tan⁡A=13\tan A = \frac{1}{3}，C=150∘C = 150^{\circ}，BC=1BC = 1，则 AB=‾AB =\underline{\hspace{2em}}.

2007 · 北京 · 理 · 第 11 题 · 填空题

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12集合与逻辑基础★★☆☆☆
已知集合 A={x∣∣x−a∣⩽1}A = \{x \mid |x - a| \leqslant 1\}，B={x∣x2−5x+4⩾0}B = \{x \mid x^2 - 5x + 4 \geqslant 0\}. 若 A∩B=∅A \cap B = \varnothing，则实数 aa 的取值范围是______.

2007 · 北京 · 理 · 第 12 题 · 填空题

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13三角函数★★★☆☆
2002 年在北京召开的国际数学家大会，会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础设计的. 弦图是由四个全等直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形（如图）.
如果小正方形的面积为 11，大正方形的面积为 2525，直角三角形中较小的锐角为 θ\theta，那么 cos⁡2θ\cos 2\theta 的值等于______.

2007 · 北京 · 理 · 第 13 题 · 填空题

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14函数与初等函数★★☆☆☆
已知函数 f(x)f(x)，g(x)g(x) 分别由下表给出
xx112233
xx112233
------------
则 f[g(1)]f[g(1)] 的值为______；满足 f[g(x)]>g[f(x)]f[g(x)] > g[f(x)] 的 xx 的值是______.

2007 · 北京 · 理 · 第 14 题 · 填空题

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15数列★★☆☆☆
数列 {an}\{a_{n}\} 中，a1=2a_{1}=2，an+1=an+cna_{n+1}=a_{n}+cn（cc 是常数，n=1n=1，22，33，⋯\cdots）. 且 a1a_{1}，a2a_{2}，a3a_{3} 成公比不为 11 的等比数列.
(1) 求 cc 的值. (2) 求 {an}\{a_{n}\} 的通项公式.

2007 · 北京 · 理 · 第 15 题 · 解答题

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16立体几何初步★★★★☆
如图，在 Rt△AOB\mathrm{Rt}\triangle AOB 中，∠OAB=π6\angle OAB = \frac{\pi}{6}，斜边 AB=4AB = 4. Rt△AOC\mathrm{Rt}\triangle AOC 可以通过 Rt△AOB\mathrm{Rt}\triangle AOB 以直线 AOAO 为轴旋转得到，且二面角 B−AO−CB-AO-C 是直二面角. 动点 DD 在斜边 ABAB 上.
(1) 求证：平面 CODCOD ⊥\perp 平面 AOBAOB. (2) 当 DD 为 ABAB 的中点时，求异面直线 AOAO 与 CDCD 所成角的大小. (3) 求 CDCD 与平面 AOBAOB 所成角的最大值.

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17解析几何★★★★☆
矩形 ABCDABCD 的两条对角线相交于点 M(2,0)M(2,0)，ABAB 边所在直线的方程为 x−3y−6=0x - 3y - 6 = 0，点 T(−1,1)T(-1,1) 在 ADAD 边所在直线上.
(1) 求 ADAD 边所在直线的方程. (2) 求矩形 ABCDABCD 外接圆的方程. (3) 若动圆 PP 过点 N(−2,0)N(-2,0)，且与矩形 ABCDABCD 的外接圆外切，求动圆 PP 的圆心的轨迹方程.

2007 · 北京 · 理 · 第 17 题 · 解答题

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18概率与统计★★★☆☆
某中学号召学生在今年春节期间至少参加一次社会公益活动（以下简称活动）. 该校合唱团共有 100100 名学生，他们参加活动的次数统计如图所示.
(1) 求合唱团学生参加活动的人均次数. (2) 从合唱团中任意选两名学生，求他们参加活动次数恰好相等的概率. (3) 从合唱团中任选两名学生，用 ξ\xi 表示选两人参加活动次数之差的绝对值，求随机变量 ξ\xi 的分布列及数学期望 E(ξ)E(\xi).

2007 · 北京 · 理 · 第 18 题 · 解答题

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19导数及其应用★★★★☆
如图，有一块半椭圆形钢板，其长半轴长为 2r2r，短半轴长为 rr. 计划将此钢板切割成等腰梯形的形状，下底 ABAB 是半椭圆的短轴，上底 CDCD 的端点在椭圆上，记 CD=2xCD = 2x，梯形面积为 SS.
(1) 求面积 SS 以 xx 为自变量的函数式，并写出其定义域. (2) 求面积 SS 的最大值.

2007 · 北京 · 理 · 第 19 题 · 解答题

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20集合与逻辑基础★★★★★
已知集合 A={a1,a2,⋯ ,ak}A = \{a_{1}, a_{2}, \cdots, a_{k}\}（k⩾2k \geqslant 2），其中 ai∈Za_{i} \in \mathbf{Z}（i=1i = 1，22，⋯\cdots，kk）. 由 AA 中的元素构成两个相应的集合：S={(a,b)∣a∈A,b∈A,a+b∈A}S = \{(a, b) \mid a \in A, b \in A, a + b \in A\}；T={(a,b)∣a∈A,b∈A,a−b∈A}T = \{(a, b) \mid a \in A, b \in A, a - b \in A\}，其中 (a,b)(a, b) 是有序数对，集合 SS 和 TT 中的元素个数分别为 mm 和 nn. 若对于任意的 a∈Aa \in A，总有 −a∉A-a \notin A，则称集合 AA 具有性质 PP.
(1) 检验集合 {0,1,2,3}\{0, 1, 2, 3\} 与 {−1,2,3}\{-1, 2, 3\} 是否具有性质 PP，并对其中具有性质 PP 的集合，写出相应的集合 SS 和 TT. (2) 对任何具有性质 PP 的集合 AA，证明：n⩽k(k−1)2n \leqslant \frac{k(k - 1)}{2}. (3) 判断 mm 和 nn 的大小关系，并证明你的结论.

2007 · 北京 · 理 · 第 20 题 · 解答题

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