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01复数★☆☆☆☆
若复数 zz 满足 2z+z‾=3−2i2z+\overline{z}=3-2\mathrm{i}，其中 i\mathrm{i} 为虚数单位，则 z=z=（ ）
A.
1+2i1+2\mathrm{i}
B.
1−2i1-2\mathrm{i}
C.
−1+2i-1+2\mathrm{i}
D.
−1−2i-1-2\mathrm{i}

2016 · 山东 · 理 · 第 1 题 · 选择题

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02集合与逻辑基础★☆☆☆☆
设集合 A={y∣y=2x,x∈R}A=\{y\mid y=2^x,x\in\mathbf{R}\}，B={x∣x2−1<0}B=\{x\mid x^2-1<0\}，则 A∪B=A\cup B=（ ）
A.
(−1,1)(-1,1)
B.
(0,1)(0,1)
C.
(−1,+∞)(-1,+\infty)
D.
(0,+∞)(0,+\infty)

2016 · 山东 · 理 · 第 2 题 · 选择题

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03概率与统计★☆☆☆☆
某高校调查了 200200 名学生每周的自习时间（单位：小时），制成了如图所示的频率分布直方图，其中自习时间的范围是 [17.5,30][17.5,30]，样本数据分组为 [17.5,20)[17.5,20)，[20,22.5)[20,22.5)，[22.5,25)[22.5,25)，[25,27.5)[25,27.5)，[27.5,30][27.5,30]. 根据直方图，这 200200 名学生中每周的自习时间不少于 22.522.5 小时的人数是（ ）
A.
5656
B.
6060
C.
120120
D.
140140

2016 · 山东 · 理 · 第 3 题 · 选择题

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04不等式★★☆☆☆
若变量 xx，yy 满足
{x+y≤2,2x−3y≤9,x≥0,\begin{cases} x+y\le 2,\\ 2x-3y\le 9,\\ x\ge 0, \end{cases}
则 x2+y2x^2+y^2 的最大值是（ ）
A.
44
B.
99
C.
1010
D.
1212

2016 · 山东 · 理 · 第 4 题 · 选择题

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05立体几何初步★★★☆☆
一个由半球和四棱锥组成的几何体，其三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）
A.
13+2π3\dfrac13+\dfrac{2\pi}{3}
B.
13+2π3\dfrac13+\dfrac{\sqrt2\pi}{3}
C.
13+2π6\dfrac13+\dfrac{\sqrt2\pi}{6}
D.
1+2π61+\dfrac{\sqrt2\pi}{6}

2016 · 山东 · 理 · 第 5 题 · 选择题

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06集合与逻辑基础★★☆☆☆
已知直线 aa，bb 分别在两个不同的平面 α\alpha，β\beta 内，则“直线 aa 和直线 bb 相交”是“平面 α\alpha 和平面 β\beta 相交”的（ ）
A.
充分不必要条件
B.
必要不充分条件
C.
充要条件
D.
既不充分也不必要条件

2016 · 山东 · 理 · 第 6 题 · 选择题

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07三角函数★★☆☆☆
函数 f(x)=(3sin⁡x+cos⁡x)(3cos⁡x−sin⁡x)f(x)=\left(\sqrt3\sin x+\cos x\right)\left(\sqrt3\cos x-\sin x\right) 的最小正周期是（ ）
A.
π2\dfrac\pi2
B.
π\pi
C.
3π2\dfrac{3\pi}{2}
D.
2π2\pi

2016 · 山东 · 理 · 第 7 题 · 选择题

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08平面向量★★☆☆☆
已知非零向量 m\boldsymbol{m}，n\boldsymbol{n} 满足 4∣m∣=3∣n∣4|\boldsymbol{m}|=3|\boldsymbol{n}|，cos⁡∠(m,n)=13\cos\angle(\boldsymbol{m},\boldsymbol{n})=\dfrac13. 若 n⊥(tm+n)\boldsymbol{n}\perp\left(t\boldsymbol{m}+\boldsymbol{n}\right)，则实数 tt 的值为（ ）
A.
44
B.
−4-4
C.
94\dfrac94
D.
−94-\dfrac94

2016 · 山东 · 理 · 第 8 题 · 选择题

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09函数与初等函数★★★☆☆
已知函数 f(x)f(x) 的定义域为 R\mathbf{R}. 当 x<0x<0 时，f(x)=x3−1f(x)=x^3-1；当 −1≤x≤1-1\le x\le 1 时，f(−x)=−f(x)f(-x)=-f(x)；当 x>12x>\dfrac12 时，f(x+12)=f(x−12)f\left(x+\dfrac12\right)=f\left(x-\dfrac12\right). 则 f(6)=f(6)=（ ）
A.
−2-2
B.
−1-1
C.
00
D.
22

2016 · 山东 · 理 · 第 9 题 · 选择题

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10导数及其应用★★☆☆☆
若函数 y=f(x)y=f(x) 的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称 y=f(x)y=f(x) 具有 TT 性质. 下列函数中具有 TT 性质的是（ ）
A.
y=sin⁡xy=\sin x
B.
y=ln⁡xy=\ln x
C.
y=exy=\mathrm{e}^x
D.
y=x3y=x^3

2016 · 山东 · 理 · 第 10 题 · 选择题

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11计数原理与组合数学★★☆☆☆
执行如图的程序框图，若输入的 aa，bb 的值分别为 00 和 99，则输出的 ii 的值为______.

2016 · 山东 · 理 · 第 11 题 · 填空题

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12计数原理与组合数学★★☆☆☆
若 (ax2+1x)5\left(ax^2+\dfrac{1}{\sqrt{x}}\right)^5 的展开式中 x5x^5 的系数是 −80-80，则实数 a=‾a=\underline{\hspace{2em}}.

2016 · 山东 · 理 · 第 12 题 · 填空题

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13解析几何★★★☆☆
已知双曲线 E ⁣:x2a2−y2b2=1E\colon\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1（a>0a>0，b>0b>0），若矩形 ABCDABCD 的四个顶点在 EE 上，ABAB，CDCD 的中点为 EE 的两个焦点，且 2∣AB∣=3∣BC∣2|AB|=3|BC|，则 EE 的离心率是______.

2016 · 山东 · 理 · 第 13 题 · 填空题

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14解析几何★★★☆☆
在 [−1,1][-1,1] 上随机地取一个数 kk，则事件“直线 y=kxy=kx 与圆 (x−5)2+y2=9(x-5)^2+y^2=9 相交”发生的概率为______.

2016 · 山东 · 理 · 第 14 题 · 填空题

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15函数与初等函数★★★★☆
已知函数
f(x)={∣x∣,x≤m,x2−2mx+4m,x>m,f(x)=\begin{cases} |x|,&x\le m,\\ x^2-2mx+4m,&x>m, \end{cases}
其中 m>0m>0，若存在实数 bb，使得关于 xx 的方程 f(x)=bf(x)=b 有三个不同的根，则 mm 的取值范围是______.

2016 · 山东 · 理 · 第 15 题 · 填空题

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16三角函数★★★★☆
在 △ABC\triangle ABC 中，角 AA，BB，CC 的对边分别为 aa，bb，cc，已知 2(tan⁡A+tan⁡B)=tan⁡Acos⁡B+tan⁡Bcos⁡A2\left(\tan A+\tan B\right)=\dfrac{\tan A}{\cos B}+\dfrac{\tan B}{\cos A}.
(1) 证明：a+b=2ca+b=2c； (2) 求 cos⁡C\cos C 的最小值.

2016 · 山东 · 理 · 第 16 题 · 解答题

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17立体几何初步★★★★☆
在如图所示的圆台中，ACAC 是下底面圆 OO 的直径，EFEF 是上底面圆 O′O' 的直径，FBFB 是圆台的一条母线.
(1) 已知 GG，HH 分别为 ECEC，FBFB 的中点，求证：GH∥平面 ABCGH\parallel\text{平面 }ABC； (2) 已知 EF=FB=12AC=23EF=FB=\dfrac12AC=2\sqrt3，AB=BCAB=BC，求二面角 F−BC−AF-BC-A 的余弦值.

2016 · 山东 · 理 · 第 17 题 · 解答题

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18数列★★★☆☆
已知数列 {an}\{a_n\} 的前 nn 项和 Sn=3n2+8nS_n=3n^2+8n，{bn}\{b_n\} 是等差数列，且 an=bn+bn+1a_n=b_n+b_{n+1}.
(1) 求数列 {bn}\{b_n\} 的通项公式； (2) 令 cn=(an+1)n+1(bn+2)nc_n=\dfrac{\left(a_n+1\right)^{n+1}}{\left(b_n+2\right)^n}，求数列 {cn}\{c_n\} 的前 nn 项和 TnT_n.

2016 · 山东 · 理 · 第 18 题 · 解答题

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19概率与统计★★★☆☆
甲，乙两人组成“星队”参加猜成语活动，每轮活动由甲，乙各猜一个成语，在一轮活动中，如果两人都猜对，则“星队”得 33 分；如果只有一个人猜对，则“星队”得 11 分；如果两人都没猜对，则“星队”得 00 分. 已知甲每轮猜对的概率是 34\dfrac34，乙每轮猜对的概率是 23\dfrac23；每轮活动中甲，乙猜对与否互不影响；各轮结果亦互不影响. 假设“星队”参加两轮活动，求：
(1) “星队”至少猜对 33 个成语的概率； (2) “星队”两轮得分之和为 XX 的分布列和数学期望 E(X)E(X).

2016 · 山东 · 理 · 第 19 题 · 解答题

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20导数及其应用★★★★★
已知 f(x)=a(x−ln⁡x)+2x−1x2f(x)=a\left(x-\ln x\right)+\dfrac{2x-1}{x^2}，a∈Ra\in\mathbf{R}.
(1) 讨论 f(x)f(x) 的单调性； (2) 当 a=1a=1 时，证明 f(x)>f′(x)+32f(x)>f'(x)+\dfrac32 对于任意的 x∈[1,2]x\in[1,2] 成立.

2016 · 山东 · 理 · 第 20 题 · 解答题

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21解析几何★★★★★
平面直角坐标系 xOyxOy 中，椭圆 C ⁣:x2a2+y2b2=1C\colon\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1（a>b>0a>b>0）的离心率是 32\dfrac{\sqrt3}{2}，抛物线 E ⁣:x2=2yE\colon x^2=2y 的焦点 FF 是 CC 的一个顶点.
(1) 求椭圆 CC 的方程； (2) 设 PP 是 EE 上的动点，且位于第一象限，EE 在点 PP 处的切线 ll 与 CC 交于不同的两点 AA，BB，线段 ABAB 的中点为 DD，直线 ODOD 与过 PP 且垂直于 xx 轴的直线交于点 MM.
(i) 求证：点 MM 在定直线上； (ii) 直线 ll 与 yy 轴交于点 GG，记 △PFG\triangle PFG 的面积为 S1S_1，△PDM\triangle PDM 的面积为 S2S_2，求 S1S2\dfrac{S_1}{S_2} 的最大值及取得最大值时点 PP 的坐标.

2016 · 山东 · 理 · 第 21 题 · 解答题

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