设集合 $A=\{y\mid y=2^x,x\in\mathbf{R}\}$，$B=\{x\mid x^2-1<0\}$，则 $A\cup B=$（ ）

若变量 $x$，$y$ 满足 则 $x^2+y^2$ 的最大值是（ ）

平面直角坐标系 $xOy$ 中，椭圆 $C\colon\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$（$a>b>0$）的离心率是 $\dfrac{\sqrt3}{2}$，抛物线 $E\colon x^2=2y$ 的焦点 $F$ 是 $C$ 的一个顶点.

(1) 求椭圆 $C$ 的方程； (2) 设 $P$ 是 $E$ 上的动点，且位于第一象限，$E$ 在点 $P$ 处的切线 $l$ 与 $C$ 交于不同的两点 $A$，$B$，线段 $AB$ 的中点为 $D$，直线 $OD$ 与过 $P$ 且垂直于 $x$ 轴的直线交于点 $M$.

(i) 求证：点 $M$ 在定直线上； (ii) 直线 $l$ 与 $y$ 轴交于点 $G$，记 $\triangle PFG$ 的面积为 $S_1$，$\triangle PDM$ 的面积为 $S_2$，求 $\dfrac{S_1}{S_2}$ 的最大值及取得最大值时点 $P$ 的坐标.