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01集合与逻辑基础★☆☆☆☆
若集合 A={x∣−2<x<1}A=\{x\mid -2<x<1\}，B={x∣x<−1 或 x>3}B=\{x\mid x<-1\text{ 或 }x>3\}，则 A∩B=A\cap B=（ ）
A.
{x∣−2<x<−1}\{x\mid -2<x<-1\}
B.
{x∣−2<x<3}\{x\mid -2<x<3\}
C.
{x∣−1<x<1}\{x\mid -1<x<1\}
D.
{x∣1<x<3}\{x\mid 1<x<3\}

2017 · 北京 · 理 · 第 1 题 · 选择题

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02复数★★☆☆☆
若复数 (1−i)(a+i)(1-\mathrm{i})(a+\mathrm{i}) 在复平面内对应的点在第二象限，则实数 aa 的取值范围是（ ）
A.
(−∞,1)(-\infty,1)
B.
(−∞,−1)(-\infty,-1)
C.
(1,+∞)(1,+\infty)
D.
(−1,+∞)(-1,+\infty)

2017 · 北京 · 理 · 第 2 题 · 选择题

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03数列★★☆☆☆
执行如图所示的程序框图，输出的 SS 值为（ ）
A.
22
B.
32\dfrac32
C.
53\dfrac53
D.
85\dfrac85

2017 · 北京 · 理 · 第 3 题 · 选择题

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04不等式★★☆☆☆
若 xx，yy 满足约束条件
{x≤3,x+y≥2,y≤x,\begin{cases} x\le 3,\\ x+y\ge 2,\\ y\le x, \end{cases}
则 x+2yx+2y 的最大值为（ ）
A.
11
B.
33
C.
55
D.
99

2017 · 北京 · 理 · 第 4 题 · 选择题

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05函数与初等函数★★☆☆☆
已知函数 f(x)=3x−(13)xf(x)=3^x-\left(\dfrac13\right)^x，则 f(x)f(x)（ ）
A.
是奇函数，且在 R\mathbf{R} 上是增函数
B.
是偶函数，且在 R\mathbf{R} 上是增函数
C.
是奇函数，且在 R\mathbf{R} 上是减函数
D.
是偶函数，且在 R\mathbf{R} 上是减函数

2017 · 北京 · 理 · 第 5 题 · 选择题

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06集合与逻辑基础★★☆☆☆
设 m\boldsymbol{m}，n\boldsymbol{n} 为非零向量，则“存在负数 λ\lambda，使得 m=λn\boldsymbol{m}=\lambda\boldsymbol{n}”是“m⋅n<0\boldsymbol{m}\cdot \boldsymbol{n}<0”的（ ）
A.
充分而不必要条件
B.
必要而不充分条件
C.
充分必要条件
D.
既不充分也不必要条件

2017 · 北京 · 理 · 第 6 题 · 选择题

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07立体几何初步★★☆☆☆
某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的最长棱的长度为（ ）
A.
323\sqrt2
B.
232\sqrt3
C.
222\sqrt2
D.
22

2017 · 北京 · 理 · 第 7 题 · 选择题

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08指数函数与对数函数★★☆☆☆
根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限 MM 约为 33613^{361}，而可观测宇宙中普通物质的原子总数 NN 约为 108010^{80}，则下列各数中与 MN\dfrac{M}{N} 最接近的是（ ）
（参考数据：lg⁡3≈0.48\lg 3\approx 0.48）
A.
103310^{33}
B.
105310^{53}
C.
107310^{73}
D.
109310^{93}

2017 · 北京 · 理 · 第 8 题 · 选择题

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09解析几何★☆☆☆☆
若双曲线 x2−y2m=1x^2-\dfrac{y^2}{m}=1 的离心率为 3\sqrt3，则实数 m=‾m=\underline{\hspace{2em}}.

2017 · 北京 · 理 · 第 9 题 · 填空题

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10数列★★☆☆☆
若等差数列 {an}\{a_n\} 和等比数列 {bn}\{b_n\} 满足 a1=b1=−1a_1=b_1=-1，a4=b4=8a_4=b_4=8，则 a2b2=‾\dfrac{a_2}{b_2}=\underline{\hspace{2em}}.

2017 · 北京 · 理 · 第 10 题 · 填空题

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11解析几何★★☆☆☆
在极坐标系中，点 AA 在圆 ρ2−2ρcos⁡θ−4ρsin⁡θ+4=0\rho^2-2\rho\cos\theta-4\rho\sin\theta+4=0 上，点 PP 的坐标为 (1,0)(1,0)，则 ∣AP∣|AP| 的最小值为______.

2017 · 北京 · 理 · 第 11 题 · 填空题

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12三角函数★★☆☆☆
在平面直角坐标系 xOyxOy 中，角 α\alpha 与角 β\beta 均以 OxOx 为始边，它们的终边关于 yy 轴对称，若 sin⁡α=13\sin\alpha=\dfrac13，则 cos⁡(α−β)=‾\cos(\alpha-\beta)=\underline{\hspace{2em}}.

2017 · 北京 · 理 · 第 12 题 · 填空题

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13集合与逻辑基础★★☆☆☆
能够说明“设 aa，bb，cc 是任意实数. 若 a>b>ca>b>c，则 a+b>ca+b>c”是假命题的一组整数 aa，bb，cc 的值依次为______.

2017 · 北京 · 理 · 第 13 题 · 填空题

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14函数与初等函数★★★☆☆
三名工人加工同一种零件，他们在一天中的工作情况如图所示，其中点 AiA_i 的横，纵坐标分别为第 ii 名工人上午的工作时间和加工的零件数，点 BiB_i 的横，纵坐标分别为第 ii 名工人下午的工作时间和加工的零件数，i=1i=1，22，33.
(1) 记 QiQ_i 为第 ii 名工人在这一天中加工的零件总数，则 Q1Q_1，Q2Q_2，Q3Q_3 中最大的是______； (2) 记 pip_i 为第 ii 名工人在这一天中平均每小时加工的零件数，则 p1p_1，p2p_2，p3p_3 中最大的是______.

2017 · 北京 · 理 · 第 14 题 · 填空题

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15三角函数★★★☆☆
在 △ABC\triangle ABC 中，∠A=60∘\angle A=60^\circ，c=37ac=\dfrac37a.
(1) 求 sin⁡C\sin C 的值； (2) 若 a=7a=7，求 △ABC\triangle ABC 的面积.

2017 · 北京 · 理 · 第 15 题 · 解答题

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16立体几何初步★★★★☆
如图，在四棱锥 P−ABCDP-ABCD 中，底面 ABCDABCD 为正方形，平面 PAD⊥PAD\perp 平面 ABCDABCD，点 MM 在线段 PBPB 上，PD∥PD\parallel 平面 MACMAC，PA=PD=6PA=PD=\sqrt6，AB=4AB=4.
(1) 求证：MM 为 PBPB 的中点； (2) 求二面角 B−PD−AB-PD-A 的大小； (3) 求直线 MCMC 与平面 BDPBDP 所成角的正弦值.

2017 · 北京 · 理 · 第 16 题 · 解答题

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17概率与统计★★★☆☆
为了研究一种新药的疗效，选 100100 名患者随机分成两组，每组各 5050 名，一组服药，另一组不服药. 一段时间后，记录了两组患者的生理指标 xx 和 yy 的数据，并制成下图，其中“∗*”表示服药者，“+”表示未服药者.
(1) 从服药的 5050 名患者中随机选出一人，求此人指标 yy 的值小于 6060 的概率； (2) 从图中 AA，BB，CC，DD 四人中随机选出两人，记 ξ\xi 为选出的两人中指标 xx 的值大于 1.71.7 的人数，求 ξ\xi 的分布列和数学期望 E(ξ)E(\xi)； (3) 试判断这 100100 名患者中服药者指标 yy 数据的方差与未服药者指标 yy 数据的方差的大小（只需写出结论）.

2017 · 北京 · 理 · 第 17 题 · 解答题

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18解析几何★★★★☆
已知抛物线 C:y2=2pxC:y^2=2px 过点 P(1,1)P(1,1). 过点 (0,12)\left(0,\dfrac12\right) 作直线 ll 与抛物线 CC 交于不同的两点 MM，NN，过点 MM 作 xx 轴的垂线分别与直线 OPOP，ONON 交于点 AA，BB，其中 OO 为原点.
(1) 求抛物线 CC 的方程，并求其焦点坐标和准线方程； (2) 求证：AA 为线段 BMBM 的中点.

2017 · 北京 · 理 · 第 18 题 · 解答题

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19导数及其应用★★★☆☆
已知函数 f(x)=excos⁡x−xf(x)=\mathrm{e}^x\cos x-x.
(1) 求曲线 y=f(x)y=f(x) 在点 (0,f(0))(0,f(0)) 处的切线方程； (2) 求函数 f(x)f(x) 在区间 [0,π2]\left[0,\dfrac{\pi}{2}\right] 上的最大值和最小值.

2017 · 北京 · 理 · 第 19 题 · 解答题

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20数列★★★★★
设 {an}\{a_n\} 和 {bn}\{b_n\} 是两个等差数列，记 cn=max⁡{b1−a1n,b2−a2n,…,bn−ann}c_n=\max\{b_1-a_1n,b_2-a_2n,\dots,b_n-a_nn\}（n=1n=1，22，33，…\dots），其中 max⁡{x1,x2,…,xs}\max\{x_1,x_2,\dots,x_s\} 表示 x1x_1，x2x_2，…\dots，xsx_s 这 ss 个数中最大的数.
(1) 若 an=na_n=n，bn=2n−1b_n=2n-1，求 c1c_1，c2c_2，c3c_3 的值，并证明 {cn}\{c_n\} 是等差数列； (2) 证明：或者对任意正数 MM，存在正整数 mm，当 n≥mn\ge m 时，cnn>M\dfrac{c_n}{n}>M；或者存在正整数 mm，使得 cmc_m，cm+1c_{m+1}，cm+2c_{m+2}，…\dots 是等差数列.

2017 · 北京 · 理 · 第 20 题 · 解答题

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