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01集合与逻辑基础★★☆☆☆
若集合 M={y∣y=2−x}M=\{y\mid y=2^{-x}\}，P={y∣y=x−1}P=\{y\mid y=\sqrt{x-1}\}，则 M∩P=M\cap P=（ ）
A.
{y∣y>1}\{y\mid y>1\}
B.
{y∣y⩾1}\{y\mid y\geqslant1\}
C.
{y∣y>0}\{y\mid y>0\}
D.
{y∣y⩾0}\{y\mid y\geqslant0\}

2003 · 京蒙皖 · 春季 · 理 · 第 1 题 · 选择题

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02函数与初等函数★★☆☆☆
若 f(x)=x−1xf(x)=\dfrac{x-1}{x}，则方程 f(4x)=xf(4x)=x 的根是（ ）
A.
12\dfrac12
B.
−12-\dfrac12
C.
22
D.
−2-2

2003 · 京蒙皖 · 春季 · 理 · 第 2 题 · 选择题

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03复数★★☆☆☆
设复数 z1=−1+iz_{1}=-1+\mathrm{i}，z2=12+32iz_{2}=\dfrac12+\dfrac{\sqrt3}{2}\mathrm{i}，则 arg⁡z1z2=\arg\dfrac{z_{1}}{z_{2}}=（ ）
A.
1312π\dfrac{13}{12}\pi
B.
712π\dfrac{7}{12}\pi
C.
512π\dfrac{5}{12}\pi
D.
−512π-\dfrac{5}{12}\pi

2003 · 京蒙皖 · 春季 · 理 · 第 3 题 · 选择题

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04函数与初等函数★★☆☆☆
函数 f(x)=11−x(1−x)f(x)=\dfrac{1}{1-x(1-x)} 的最大值是（ ）
A.
45\dfrac45
B.
54\dfrac54
C.
34\dfrac34
D.
43\dfrac43

2003 · 京蒙皖 · 春季 · 理 · 第 4 题 · 选择题

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05解析几何★★★☆☆
在同一坐标系中，方程 a2x2+b2y2=1a^{2}x^{2}+b^{2}y^{2}=1 与 ax+by2=0ax+by^{2}=0（a>b>0a>b>0）的曲线大致是（ ）
A.
B.
C.
D.

2003 · 京蒙皖 · 春季 · 理 · 第 5 题 · 选择题

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06三角函数★★★☆☆
若 AA，BB，CC 是 △ABC\triangle ABC 的三个内角，且 A<B<CA<B<C（C≠π2C\ne\dfrac\pi2），则下列结论中正确的是（ ）
A.
sin⁡A<sin⁡C\sin A<\sin C
B.
cos⁡A<cos⁡C\cos A<\cos C
C.
tan⁡A<tan⁡C\tan A<\tan C
D.
cot⁡A<cot⁡C\cot A<\cot C

2003 · 京蒙皖 · 春季 · 理 · 第 6 题 · 选择题

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07解析几何★★☆☆☆
椭圆
{x=4+5cos⁡φ,y=3sin⁡φ,\begin{cases} x=4+5\cos\varphi,\\ y=3\sin\varphi, \end{cases}
（φ\varphi 为参数）的焦点坐标为（ ）
A.
(0,0)(0,0)，(0,−8)(0,-8)
B.
(0,0)(0,0)，(−8,0)(-8,0)
C.
(0,0)(0,0)，(0,8)(0,8)
D.
(0,0)(0,0)，(8,0)(8,0)

2003 · 京蒙皖 · 春季 · 理 · 第 7 题 · 选择题

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08立体几何初步★★☆☆☆
如图，在正三角形 ABCABC 中，DD，EE，FF 分别为各边的中点，GG，HH，II，JJ 分别为 AFAF，ADAD，BEBE，DEDE 的中点. 将 △ABC\triangle ABC 沿 DEDE，EFEF，DFDF 折成三棱锥以后，GHGH 与 IJIJ 所成角的度数为（ ）
A.
90∘90^{\circ}
B.
60∘60^{\circ}
C.
45∘45^{\circ}
D.
0∘0^{\circ}

2003 · 京蒙皖 · 春季 · 理 · 第 8 题 · 选择题

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09计数原理与组合数学★★☆☆☆
某班新年联欢会原定的 5 个5\text{ 个}节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目. 如果将这两个节目插入原节目单中，那么不同插法的种数为（ ）
A.
4242
B.
3030
C.
2020
D.
1212

2003 · 京蒙皖 · 春季 · 理 · 第 9 题 · 选择题

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10解析几何★★☆☆☆
已知直线 ax+by+c=0ax+by+c=0（abc≠0abc\ne0）与圆 x2+y2=1x^{2}+y^{2}=1 相切，则三条边长分别为 ∣a∣|a|，∣b∣|b|，∣c∣|c| 的三角形（ ）
A.
是锐角三角形
B.
是直角三角形
C.
是钝角三角形
D.
不存在

2003 · 京蒙皖 · 春季 · 理 · 第 10 题 · 选择题

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11不等式★★☆☆☆
若不等式 ∣ax+2∣<6|ax+2|<6 的解集为 (−1,2)(-1,2)，则实数 aa 等于（ ）
A.
88
B.
22
C.
−4-4
D.
−8-8

2003 · 京蒙皖 · 春季 · 理 · 第 11 题 · 选择题

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12不等式★★★☆☆
在直角坐标系 xOyxOy 中，已知 △AOB\triangle AOB 三边所在直线的方程分别为 x=0x=0，y=0y=0，2x+3y=302x+3y=30，则 △AOB\triangle AOB 内部和边上整点（即横，纵坐标均为整数的点）的总数是（ ）
A.
9595
B.
9191
C.
8888
D.
7575

2003 · 京蒙皖 · 春季 · 理 · 第 12 题 · 选择题

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13立体几何初步★★☆☆☆
如图，一个底面半径为 RR 的圆柱形量杯中装有适量的水. 若放入一个半径为 rr 的实心铁球，水面高度恰好升高 rr，则 Rr=\dfrac Rr=______.

2003 · 京蒙皖 · 春季 · 理 · 第 13 题 · 填空题

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14数列★★☆☆☆
在某报《自测健康状况》的报道中，自测血压结果与相应年龄的统计数据如下表. 观察表中数据的特点，用适当的数填入表中空白内.

2003 · 京蒙皖 · 春季 · 理 · 第 14 题 · 填空题

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15解析几何★★★☆☆
已知 F1F_{1}，F2F_{2} 分别为椭圆 x2a2+y2b2=1\dfrac{x^{2}}{a^{2}}+\dfrac{y^{2}}{b^{2}}=1 的左，右焦点，点 PP 在椭圆上，△POF2\triangle POF_{2} 是面积为 3\sqrt3 的正三角形，则 b2b^{2} 的值是______.

2003 · 京蒙皖 · 春季 · 理 · 第 15 题 · 填空题

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16函数与初等函数★★★☆☆
若存在常数 p>0p>0，使得函数 f(x)f(x) 满足 f(px)=f(px−p2)f(px)=f\left(px-\dfrac p2\right)（x∈Rx\in\mathbf{R}），则 f(x)f(x) 的一个正周期为______.

2003 · 京蒙皖 · 春季 · 理 · 第 16 题 · 填空题

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17指数函数与对数函数★★★☆☆
解不等式：log⁡12(x2−x−2)>log⁡12(x−1)−1\log_{\frac12}(x^{2}-x-2)>\log_{\frac12}(x-1)-1.

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18三角函数★★★☆☆
已知函数 f(x)=6cos⁡4x+5sin⁡2x−4cos⁡2xf(x)=\dfrac{6\cos^{4}x+5\sin^{2}x-4}{\cos2x}，求 f(x)f(x) 的定义域，判断它的奇偶性，并求其值域.

2003 · 京蒙皖 · 春季 · 理 · 第 18 题 · 解答题

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19立体几何初步★★★★☆
如图，正四棱柱 ABCD−A1B1C1D1ABCD-A_{1}B_{1}C_{1}D_{1} 中，底面边长为 222\sqrt2，侧棱长为 44. EE，FF 分别为棱 ABAB，BCBC 的中点，EF∩BD=GEF\cap BD=G.
(1) 求证：平面 B1EF⊥B_{1}EF\perp 平面 BDD1B1BDD_{1}B_{1}； (2) 求点 D1D_{1} 到平面 B1EFB_{1}EF 的距离 dd； (3) 求三棱锥 B1−EFD1B_{1}-EFD_{1} 的体积 VV.

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20导数及其应用★★★☆☆
某租赁公司拥有汽车 100 辆100\text{ 辆}. 当每辆车的月租金为 3000 元3000\text{ 元} 时，可全部租出. 当每辆车的月租金每增加 50 元50\text{ 元} 时，未租出的车将会增加一辆. 租出的车每辆每月需要维护费 150 元150\text{ 元}，未租出的车每辆每月需要维护费 50 元50\text{ 元}.
(1) 当每辆车的月租金定为 3600 元3600\text{ 元} 时，能租出多少辆车？ (2) 当每辆车的月租金定为多少元时，租赁公司的月收益最大？最大月收益是多少？

2003 · 京蒙皖 · 春季 · 理 · 第 20 题 · 解答题

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21数列★★★☆☆
如图，在边长为 ll 的等边 △ABC\triangle ABC 中，圆 O1O_{1} 为 △ABC\triangle ABC 的内切圆，圆 O2O_{2} 与圆 O1O_{1} 外切，且与 ABAB，BCBC 相切，⋯\cdots，圆 On+1O_{n+1} 与圆 OnO_{n} 外切，且与 ABAB，BCBC 相切，如此无限继续下去. 记圆 OnO_{n} 的面积为 ana_{n}（n∈Nn\in\mathbf{N}）.
(1) 证明 {an}\{a_{n}\} 是等比数列； (2) 求 lim⁡n→∞(a1+a2+⋯+an)\displaystyle\lim_{n\to\infty}(a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{n}) 的值.

2003 · 京蒙皖 · 春季 · 理 · 第 21 题 · 解答题

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22解析几何★★★★☆
已知动圆过定点 P(1,0)P(1,0)，且与定直线 l:x=−1l:x=-1 相切，点 CC 在 ll 上.
(1) 求动圆圆心的轨迹 MM 的方程； (2) 设过点 PP，且斜率为 −3-\sqrt3 的直线与曲线 MM 相交于 AA，BB 两点.
(i) 问：△ABC\triangle ABC 能否为正三角形？若能，求点 CC 的坐标；若不能，说明理由； (ii) 当 △ABC\triangle ABC 为钝角三角形时，求这种点 CC 的纵坐标的取值范围.

2003 · 京蒙皖 · 春季 · 理 · 第 22 题 · 解答题

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