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01集合与逻辑基础★☆☆☆☆
满足条件 M∪{1}={1,2,3}M\cup\{1\}=\{1,2,3\} 的集合 MM 的个数是（\quad）
A.
44
B.
33
C.
22
D.
11

2002 · 北京 · 秋季 · 文 · 第 1 题 · 选择题

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02三角函数★★☆☆☆
在平面直角坐标系中，已知两点 A(cos⁡80∘,sin⁡80∘)A(\cos80^\circ,\sin80^\circ)，B(cos⁡20∘,sin⁡20∘)B(\cos20^\circ,\sin20^\circ)，则 ∣AB∣|AB| 的值是（\quad）
A.
12\dfrac{1}{2}
B.
22\dfrac{\sqrt{2}}{2}
C.
32\dfrac{\sqrt{3}}{2}
D.
11

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03三角函数★★☆☆☆
下列四个函数中，以 π\pi 为最小正周期，且在区间 (π2,π)\left(\dfrac{\pi}{2},\pi\right) 上为减函数的是（\quad）
A.
y=cos⁡xy=\cos x
B.
y=2∣sin⁡x∣y=2\lvert\sin x\rvert
C.
y=cos⁡x2y=\cos \dfrac{x}{2}
D.
y=−cot⁡xy=-\cot x

2002 · 北京 · 秋季 · 文 · 第 3 题 · 选择题

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04立体几何初步★★★☆☆
在下列四个正方体中，能得出 AB⊥CDAB\perp CD 的是（\quad）
A.
B.
C.
D.

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05立体几何初步★★☆☆☆
6464 个直径都为 a4\dfrac{a}{4} 的球，记它们的体积之和为 V甲V_{\text{甲}}，表面积之和为 S甲S_{\text{甲}}；一个直径为 aa 的球，记其体积为 V乙V_{\text{乙}}，表面积为 S乙S_{\text{乙}}，则（\quad）
A.
V甲>V乙V_{\text{甲}}>V_{\text{乙}}，S甲>S乙S_{\text{甲}}>S_{\text{乙}}
B.
V甲<V乙V_{\text{甲}}<V_{\text{乙}}，S甲<S乙S_{\text{甲}}<S_{\text{乙}}
C.
V甲=V乙V_{\text{甲}}=V_{\text{乙}}，S甲>S乙S_{\text{甲}}>S_{\text{乙}}
D.
V甲=V乙V_{\text{甲}}=V_{\text{乙}}，S甲=S乙S_{\text{甲}}=S_{\text{乙}}

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06解析几何★★★☆☆
若直线 l:y=kx−3l:y=kx-\sqrt{3} 与直线 2x+3y−6=02x+3y-6=0 的交点位于第一象限，则直线 ll 的倾斜角的取值范围是（\quad）
A.
[π6,π3)\left[\dfrac{\pi}{6},\dfrac{\pi}{3}\right)
B.
(π6,π2)\left(\dfrac{\pi}{6},\dfrac{\pi}{2}\right)
C.
(π3,π2)\left(\dfrac{\pi}{3},\dfrac{\pi}{2}\right)
D.
[π6,π2]\left[\dfrac{\pi}{6},\dfrac{\pi}{2}\right]

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07复数★☆☆☆☆
(1+i)8(1+\mathrm{i})^8 等于（\quad）
A.
16i16\mathrm{i}
B.
−16i-16\mathrm{i}
C.
−16-16
D.
1616

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08三角函数★★☆☆☆
若 cot⁡θ−12cot⁡θ+1=1\displaystyle \frac{\cot\theta-1}{2\cot\theta+1}=1， 则 cos⁡2θ\cos 2\theta 的值为（\quad）
A.
35\dfrac{3}{5}
B.
−35-\dfrac{3}{5}
C.
255\dfrac{2\sqrt{5}}{5}
D.
−255-\dfrac{2\sqrt{5}}{5}

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09计数原理与组合数学★★☆☆☆
55 本不同的书，全部分给四个学生，每个学生至少 11 本，则不同的分法的种数为（\quad）
A.
480480
B.
240240
C.
120120
D.
9696

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10解析几何★★★☆☆
已知椭圆 x23m2+y25n2=1\dfrac{x^{2}}{3m^{2}}+\dfrac{y^{2}}{5n^{2}}=1 和双曲线 x22m2−y23n2=1\dfrac{x^{2}}{2m^{2}}-\dfrac{y^{2}}{3n^{2}}=1 有公共的焦点，那么双曲线的渐近线方程是（\quad）
A.
x=±152yx=\pm\dfrac{\sqrt{15}}{2}y
B.
y=±152xy=\pm\dfrac{\sqrt{15}}{2}x
C.
x=±34yx=\pm\dfrac{\sqrt{3}}{4}y
D.
y=±34xy=\pm\dfrac{\sqrt{3}}{4}x

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11函数与初等函数★★☆☆☆
已知 f(x)f(x) 是定义在 (0,3)(0,3) 上的函数，f(x)f(x) 的图象如图所示，那么不等式 f(x)cos⁡x<0f(x)\cos x<0 的解集是（\quad）
A.
(0,1)∪(2,3)(0,1)\cup(2,3)
B.
(1,π2)∪(π2,3)\left(1,\dfrac{\pi}{2}\right)\cup\left(\dfrac{\pi}{2},3\right)
C.
(0,1)∪(π2,3)(0,1)\cup\left(\dfrac{\pi}{2},3\right)
D.
(0,1)∪(1,3)(0,1)\cup(1,3)

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12函数与初等函数★★★☆☆
如图所示，f1(x)f_{1}(x)，f2(x)f_{2}(x)，f3(x)f_{3}(x)，f4(x)f_{4}(x) 是定义在 [0,1][0,1] 上的四个函数，其中满足性质：“对 [0,1][0,1] 中任意的 x1x_{1} 和 x2x_{2}，f(x1+x22)⩽12[f(x1)+f(x2)]\displaystyle f\left(\frac{x_{1}+x_{2}}{2}\right)\leqslant \frac{1}{2}\bigl[f(x_{1})+f(x_{2})\bigr] 恒成立”的只有（\quad）
A.
f1(x)f_{1}(x)，f3(x)f_{3}(x)
B.
f2(x)f_{2}(x)
C.
f2(x)f_{2}(x)，f3(x)f_{3}(x)
D.
f4(x)f_{4}(x)

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13三角函数★★☆☆☆
sin⁡2π5\sin\dfrac{2\pi}{5}，cos⁡6π5\cos\dfrac{6\pi}{5}，tan⁡7π5\tan\dfrac{7\pi}{5} 从小到大的顺序是______.

2002 · 北京 · 秋季 · 文 · 第 13 题 · 填空题

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14数列★★☆☆☆
等差数列 {an}\{a_n\} 中，a1=2a_1=2，公差不为零，且 a1a_1，a3a_3，a11a_{11} 恰好是某等比数列的前三项，那么该等比数列公比的值等于______.

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15立体几何初步★★★☆☆
关于直角 AOBAOB 在平面 α\alpha 内的射影有如下判断：
① 可能是 0∘0^\circ 的角； ② 可能是锐角； ③ 可能是直角； ④ 可能是钝角； ⑤ 可能是 180∘180^\circ 的角.
其中正确的序号是______.

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16解析几何★★☆☆☆
x2+y2−2x−2y+1=0x^{2}+y^{2}-2x-2y+1=0 上的动点 QQ 到直线 3x+4y+8=03x+4y+8=0 的距离的最小值为______.

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17不等式★★☆☆☆
解不等式 2x−1+2>x\sqrt{2x-1}+2>x.

2002 · 北京 · 秋季 · 文 · 第 17 题 · 解答题

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18立体几何初步★★★★☆
如图，在多面体 ABCD−A1B1C1D1ABCD-A_{1}B_{1}C_{1}D_{1} 中，上，下底面平行且均为矩形，相对的侧面与同一底面所成的二面角大小相等，侧棱延长后相交于 EE，FF 两点，上，下底面矩形的长，宽分别为 cc，dd 与 aa，bb，且 a>ca>c，b>db>d，两底面间的距离为 hh.
(1) 求侧面 ABB1A1ABB_{1}A_{1} 与底面 ABCDABCD 所成二面角的正切值； (2) 在估算该多面体的体积时，经常运用近似公式 V估=S中截面⋅hV_{\text{估}}=S_{\text{中截面}}\cdot h 来计算，已知它的体积公式是 V=h6(S上底面+4S中截面+S下底面)V=\dfrac{h}{6}(S_{\text{上底面}}+4S_{\text{中截面}}+S_{\text{下底面}})，试判断 V估V_{\text{估}} 与 VV 的大小关系，并加以证明.
注：与两个底面平行，且到两个底面距离相等的截面称为该多面体的中截面.

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19数列★★★☆☆
数列 {xn}\{x_n\} 由下列条件确定：x1=a>0x_{1}=a>0，xn+1=12(xn+axn)x_{n+1}=\dfrac{1}{2}\left(x_{n}+\dfrac{a}{x_{n}}\right)，n∈Nn\in\mathbf{N}.
(1) 证明：对 n⩾2n\geqslant 2，总有 xn⩾ax_{n}\geqslant \sqrt{a}； (2) 证明：对 n⩾2n\geqslant 2，总有 xn⩾xn+1x_{n}\geqslant x_{n+1}.

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20计数原理与组合数学★★★★☆
在研究并行计算的基本算法时，有以下简单模型问题：用计算机求 nn 个不同的数 v1v_{1}，v2v_{2}，⋯\cdots，vnv_{n} 的和 ∑i=1nvi=v1+v2+⋯+vn\sum_{i=1}^{n}v_{i}=v_{1}+v_{2}+\cdots+v_{n}. 计算开始前，nn 个数存贮在由网络连接的 nn 台计算机中，每台机器存一个数. 计算开始后，在一个单位时间内，每台机器至多到一台其他机器中读数据，并与自己原有数据相加得到新的数据，各台机器可同时完成上述工作. 为了用尽可能少的单位时间，即可完成计算，方法可用下表表示：
\begin{array}{c} \hline 机器号 & 初始时 & \multicolumn{2}{c|}{第一单位时间} & \multicolumn{2}{c|}{第二单位时间} & \multicolumn{2}{c|}{第三单位时间} \\ \cline{3-8} & & 被读机号 & 结果 & 被读机号 & 结果 & 被读机号 & 结果 \\ \hline 1 & $v_{1}$ & 2 & $v_{1}+v_{2}$ & & & & \\ \hline 2 & $v_{2}$ & 1 & $v_{2}+v_{1}$ & & & & \\ \hline \end{array}
(1) 当 n=4n=4 时，至少需要多少个单位时间可完成计算？把你设计的方法填入下表：
\begin{array}{c} \hline 机器号 & 初始时 & \multicolumn{2}{c|}{第一单位时间} & \multicolumn{2}{c|}{第二单位时间} & \multicolumn{2}{c|}{第三单位时间} \\ \cline{3-8} & & 被读机号 & 结果 & 被读机号 & 结果 & 被读机号 & 结果 \\ \hline 1 & $v_{1}$ & & & & & & \\ \hline 2 & $v_{2}$ & & & & & & \\ \hline 3 & $v_{3}$ & & & & & & \\ \hline 4 & $v_{4}$ & & & & & & \\ \hline \end{array}
(2) 当 n=128n=128 时，要使所有机器都得到 ∑i=1nvi\sum_{i=1}^{n}v_{i}，至少需要多少个单位时间可完成计算？

2002 · 北京 · 秋季 · 文 · 第 20 题 · 解答题

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21解析几何★★★★★
已知 O(0,0)O(0,0)，B(1,0)B(1,0)，C(b,c)C(b,c)（c≠0c\ne0）是 △OBC\triangle OBC 的三个顶点.
(1) 写出 △OBC\triangle OBC 的重心 GG，外心 FF，垂心 HH 的坐标，并证明 GG，FF，HH 三点共线； (2) 当直线 FHFH 与 OBOB 平行时，求顶点 CC 的轨迹.

2002 · 北京 · 秋季 · 文 · 第 21 题 · 解答题

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22函数与初等函数★★★★☆
已知 f(x)f(x) 是定义在 R\mathbf{R} 上的不恒为零的函数，且对于任意的 aa，b∈Rb\in\mathbf{R} 都满足：f(a⋅b)=af(b)+bf(a)f(a\cdot b)=af(b)+bf(a).
(1) 求 f(0)f(0)，f(1)f(1) 的值； (2) 判断 f(x)f(x) 的奇偶性，并证明你的结论； (3) 若 f(2)=2f(2)=2，un=f(2n)u_{n}=f(2^{n})（n∈Nn\in\mathbf{N}），求证 un+1>unu_{n+1}>u_{n}（n∈Nn\in\mathbf{N}）.

2002 · 北京 · 秋季 · 文 · 第 22 题 · 解答题

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