数迹
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14数列★★☆☆☆
等差数列 {an}\{a_n\} 中，a1=2a_1=2，公差不为零，且 a1a_1，a3a_3，a11a_{11} 恰好是某等比数列的前三项，那么该等比数列公比的值等于______.

2002 · 北京 · 秋季 · 文 · 第 14 题 · 填空题

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19数列★★★☆☆
数列 {xn}\{x_n\} 由下列条件确定：x1=a>0x_{1}=a>0，xn+1=12(xn+axn)x_{n+1}=\dfrac{1}{2}\left(x_{n}+\dfrac{a}{x_{n}}\right)，n∈Nn\in\mathbf{N}.
(1) 证明：对 n⩾2n\geqslant 2，总有 xn⩾ax_{n}\geqslant \sqrt{a}； (2) 证明：对 n⩾2n\geqslant 2，总有 xn⩾xn+1x_{n}\geqslant x_{n+1}.

2002 · 北京 · 秋季 · 文 · 第 19 题 · 解答题

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22函数与初等函数★★★★☆
已知 f(x)f(x) 是定义在 R\mathbf{R} 上的不恒为零的函数，且对于任意的 aa，b∈Rb\in\mathbf{R} 都满足：f(a⋅b)=af(b)+bf(a)f(a\cdot b)=af(b)+bf(a).
(1) 求 f(0)f(0)，f(1)f(1) 的值； (2) 判断 f(x)f(x) 的奇偶性，并证明你的结论； (3) 若 f(2)=2f(2)=2，un=f(2n)u_{n}=f(2^{n})（n∈Nn\in\mathbf{N}），求证 un+1>unu_{n+1}>u_{n}（n∈Nn\in\mathbf{N}）.

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