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01复数★☆☆☆☆
(1−i1+i)2\left(\frac{1-\mathrm{i}}{1+\mathrm{i}}\right)^2 的值等于（ ）
A.
11
B.
−1-1
C.
i\mathrm{i}
D.
−i-\mathrm{i}

1988 · 全国 · 文 · 第 1 题 · 选择题

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02解析几何★☆☆☆☆
圆 MM 的方程为 (x−3)2+(y−2)2=2\left(x-3\right)^2 + \left(y-2\right)^2 = 2，直线 LL 的方程为 x+y−3=0x+y-3 = 0，点 PP 的坐标为 (2,1)(2,1)，那么（ ）
A.
点 PP 在直线 LL 上，但不在圆 MM 上
B.
点 PP 在圆 MM 上，但不在直线 LL 上
C.
点 PP 既在圆 MM 上，又在直线 LL 上
D.
点 PP 既不在直线 LL 上，也不在圆 MM 上

1988 · 全国 · 文 · 第 2 题 · 选择题

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03集合与逻辑基础★☆☆☆☆
集合 {1,2,3}\{1,2,3\} 的子集共有（ ）
A.
55 个
B.
66 个
C.
77 个
D.
88 个

1988 · 全国 · 文 · 第 3 题 · 选择题

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04指数函数与对数函数★☆☆☆☆
函数 y=axy = a^x（0<a<10 < a < 1）的图象是（ ）
A.
B.
C.
D.

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05解析几何★☆☆☆☆
已知椭圆方程 x220+y211=1\frac{x^2}{20} + \frac{y^2}{11} = 1，那么它的焦距是（ ）
A.
66
B.
33
C.
2312\sqrt{31}
D.
31\sqrt{31}

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06复数★☆☆☆☆
在复平面内，与复数 z=−1−iz = -1 - \mathrm{i} 的共轭复数对应的点位于（ ）
A.
第一象限
B.
第二象限
C.
第三象限
D.
第四象限

1988 · 全国 · 文 · 第 6 题 · 选择题

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07计数原理与组合数学★★☆☆☆
在 (x−3)10\left(x-\sqrt{3}\right)^{10} 的展开式中，x6x^6 的系数是（ ）
A.
−27C106-27\mathrm C_{10}^6
B.
27C10427\mathrm C_{10}^4
C.
−9C106-9\mathrm C_{10}^6
D.
9C1049\mathrm C_{10}^4

1988 · 全国 · 文 · 第 7 题 · 选择题

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08三角函数★☆☆☆☆
函数 y=3cos⁡(25x−π6)y = 3\cos\left(\frac{2}{5}x-\frac{\pi}{6}\right) 的最小正周期是（ ）
A.
25π\frac{2}{5}\pi
B.
52π\frac{5}{2}\pi
C.
2π2\pi
D.
5π5\pi

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09三角函数★☆☆☆☆
sin⁡(−196π)\sin\left(-\frac{19}{6}\pi\right) 的值等于（ ）
A.
12\frac{1}{2}
B.
−12-\frac{1}{2}
C.
32\frac{\sqrt{3}}{2}
D.
−32-\frac{\sqrt{3}}{2}

1988 · 全国 · 文 · 第 9 题 · 选择题

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10解析几何★★☆☆☆
直线 x+ay=2a+2x+ay = 2a+2 与 ax+y=a+1ax+y = a+1 平行（不重合）的充要条件是（ ）
A.
a=12a = \frac{1}{2}
B.
a=−12a = -\frac{1}{2}
C.
a=1a = 1
D.
a=−1a = -1

1988 · 全国 · 文 · 第 10 题 · 选择题

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11函数与初等函数★★☆☆☆
函数 y=x−22x−1y = \frac{x-2}{2x-1}（x∈Rx \in \mathbf{R}，x≠12x \neq \frac{1}{2}）的反函数是（ ）
A.
y=x−22x−1y = \frac{x-2}{2x-1}（x∈Rx \in \mathbf{R}，x≠12x \neq \frac{1}{2}）
B.
y=2x−1x−2y = \frac{2x-1}{x-2}（x∈Rx \in \mathbf{R}，x≠2x \neq 2）
C.
y=x+22x−1y = \frac{x+2}{2x-1}（x∈Rx \in \mathbf{R}，x≠12x \neq \frac{1}{2}）
D.
y=2x−1x+2y = \frac{2x-1}{x+2}（x∈Rx \in \mathbf{R}，x≠−2x \neq -2）

1988 · 全国 · 文 · 第 11 题 · 选择题

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12立体几何初步★★★☆☆
如图，正四棱台中，A′D′A'D' 所在的直线与 BB′BB' 所在的直线是（ ）
A.
相交直线
B.
平行直线
C.
不互相垂直的异面直线
D.
互相垂直的异面直线

1988 · 全国 · 文 · 第 12 题 · 选择题

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13三角函数★★☆☆☆
函数 y=sin⁡(x+π4)y = \sin\left(x+\frac{\pi}{4}\right) 在闭区间（ ）
A.
[−π2,π2]\left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right] 上是增函数
B.
[−3π4,π4]\left[-\frac{3\pi}{4}, \frac{\pi}{4}\right] 上是增函数
C.
[−π,0][-\pi,0] 上是增函数
D.
[−π4,3π4]\left[-\frac{\pi}{4}, \frac{3\pi}{4}\right] 上是增函数

1988 · 全国 · 文 · 第 13 题 · 选择题

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14计数原理与组合数学★★☆☆☆
假设在 200200 件产品中有 33 件次品，现在从中任意抽取 55 件，其中至少有 22 件次品的抽法有（ ）
A.
C32C1973+C33C1972\mathrm C_3^2\mathrm C_{197}^3 + \mathrm C_3^3\mathrm C_{197}^2 种
B.
C32C1973\mathrm C_3^2\mathrm C_{197}^3 种
C.
C2005−C1975\mathrm C_{200}^5 - \mathrm C_{197}^5 种
D.
C2005−C31C1974\mathrm C_{200}^5 - \mathrm C_3^1\mathrm C_{197}^4 种

1988 · 全国 · 文 · 第 14 题 · 选择题

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15立体几何初步★★★☆☆
已知二面角 α−AB−β\alpha-AB-\beta 的平面角是锐角 θ\theta，α\alpha 内一点 CC 到 β\beta 的距离为 33，点 CC 到棱 ABAB 的距离为 44，那么 tan⁡θ\tan\theta 的值等于（ ）
A.
34\frac{3}{4}
B.
35\frac{3}{5}
C.
377\frac{3}{7}\sqrt{7}
D.
137\frac{1}{3}\sqrt{7}

1988 · 全国 · 文 · 第 15 题 · 选择题

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16复数★☆☆☆☆
求复数 3−i\sqrt{3} - \mathrm{i} 的模和辐角的主值，分别为______，______.

1988 · 全国 · 文 · 第 16 题 · 填空题

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17指数函数与对数函数★★☆☆☆
解方程：9−x−2⋅31−x=279^{-x} - 2 \cdot 3^{1-x} = 27，解为______.

1988 · 全国 · 文 · 第 17 题 · 填空题

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18三角函数★★☆☆☆
已知 sin⁡θ=−35\sin\theta = -\frac{3}{5}，3π<θ<7π23\pi < \theta < \frac{7\pi}{2}，求 tan⁡θ2\tan\frac{\theta}{2} 的值为______.

1988 · 全国 · 文 · 第 18 题 · 填空题

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19立体几何初步★★★☆☆
一个直角三角形的两条直角边的长分别为 3 cm3\mathrm{~cm} 和 4 cm4\mathrm{~cm}，将这个直角三角形以斜边为轴旋转一周，求所得旋转体的体积为______.

1988 · 全国 · 文 · 第 19 题 · 填空题

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20数列★☆☆☆☆
求 lim⁡n→∞3n2+2nn2+3n−1=\displaystyle\lim\limits_{n\to\infty}\frac{3n^2 + 2n}{n^2 + 3n - 1}=______.

1988 · 全国 · 文 · 第 20 题 · 填空题

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21三角函数★★☆☆☆
证明：cos⁡3α=4cos⁡3α−3cos⁡α\cos 3\alpha = 4\cos^3\alpha - 3\cos\alpha.

1988 · 全国 · 文 · 第 21 题 · 解答题

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22立体几何初步★★★☆☆
如图，四棱锥 S−ABCDS - ABCD 的底面是边长为 11 的正方形，侧棱 SBSB 垂直于底面，并且 SB=3SB = \sqrt{3}，用 α\alpha 表示 ∠ASD\angle ASD，求 sin⁡α\sin\alpha 的值.

1988 · 全国 · 文 · 第 22 题 · 解答题

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23解析几何★★★☆☆
在双曲线 x2−y2=1x^2 - y^2 = 1 的右支上求点 P(a,b)P(a,b)，使该点到直线 y=xy = x 的距离为 2\sqrt{2}.

1988 · 全国 · 文 · 第 23 题 · 解答题

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24指数函数与对数函数★★★☆☆
解不等式：lg⁡(x−1x)<0\lg\left(x-\frac{1}{x}\right) < 0.

1988 · 全国 · 文 · 第 24 题 · 解答题

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25数列★★★☆☆
一个数列 {an}\{a_n\}：当 nn 为奇数时，an=5n+1a_n = 5n + 1；当 nn 为偶数时，an=2n2a_n = 2^{\frac n2}. 求这个数列的前 2m2m 项的和（mm 是正整数）.

1988 · 全国 · 文 · 第 25 题 · 解答题

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