在平面直角坐标系 $xOy$ 中，若曲线 $y = ax^2 + \frac{b}{x}$（$a$，$b$ 为常数）过点 $P(2, -5)$，且该曲线在点 $P$ 处的切线与直线 $7x + 2y + 3 = 0$ 平行，则 $a + b$ 的值是______.

若 $\triangle ABC$ 的内角满足 $\sin A + \sqrt{2}\sin B = 2\sin C$，则 $\cos C$ 的最小值是______.

已知函数 $f(x) = \mathrm{e}^{x} + \mathrm{e}^{-x}$，其中 $\mathrm{e}$ 是自然对数的底数.

(1) 证明： $f(x)$ 是 $\mathbf{R}$ 上的偶函数； (2) 若关于 $x$ 的不等式 $m f(x) \leqslant \mathrm{e}^{-x} + m - 1$ 在 $(0, +\infty)$ 上恒成立，求实数 $m$ 的取值范围； (3) 已知正数 $a$ 满足：存在 $x_0 \in [1, +\infty)$，使得 $f(x_0) < a(-x_0^3 + 3x_0)$ 成立. 试比较 $\mathrm{e}^{a - 1}$ 与 $a^{\mathrm{e} - 1}$ 的大小，并证明你的结论.

已知函数 $f_{0}(x) = \frac{\sin x}{x}$ （$x > 0$），设 $f_{n}(x)$ 为 $f_{n-1}(x)$ 的导数，$n \in \mathbf{N}^{*}$.

(1) 求 $2f_{1}\left(\frac{\pi}{2}\right) + \frac{\pi}{2}f_{2}\left(\frac{\pi}{2}\right)$ 的值； (2) 证明：对任意的 $n \in \mathbf{N}^{*}$，等式 $\left|n f_{n-1}\left(\frac{\pi}{4}\right) + \frac{\pi}{4}f_{n}\left(\frac{\pi}{4}\right)\right| = \frac{\sqrt{2}}{2}$ 都成立.