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01集合与逻辑基础★☆☆☆☆
已知集合 M={x∣(x−1)2<4,x∈R}M = \{x \mid (x - 1)^2 < 4, x \in \mathbf{R}\}，N={−1,0,1,2,3}N = \{-1, 0, 1, 2, 3\}，则 M∩N=M \cap N =（ ）
A.
{0,1,2}\{0, 1, 2\}
B.
{−1,0,1,2}\{-1, 0, 1, 2\}
C.
{−1,0,2,3}\{-1, 0, 2, 3\}
D.
{0,1,2,3}\{0, 1, 2, 3\}

2013 · 全国 · 新课程二卷 · 理 · 第 1 题 · 选择题

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02复数★☆☆☆☆
设复数 zz 满足 (1−i)z=2i(1 - \mathrm{i})z = 2\mathrm{i}，则 z=z =（ ）
A.
−1+i-1 + \mathrm{i}
B.
−1−i-1 - \mathrm{i}
C.
1+i1 + \mathrm{i}
D.
1−i1 - \mathrm{i}

2013 · 全国 · 新课程二卷 · 理 · 第 2 题 · 选择题

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03数列★★☆☆☆
等比数列 {an}\{a_n\} 的前 nn 项和为 SnS_n，已知 S3=a2+10a1S_3 = a_2 + 10a_1，a5=9a_5 = 9，则 a1=a_1 =（ ）
A.
13\frac{1}{3}
B.
−13-\frac{1}{3}
C.
19\frac{1}{9}
D.
−19-\frac{1}{9}

2013 · 全国 · 新课程二卷 · 理 · 第 3 题 · 选择题

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04立体几何初步★★★☆☆
已知 mm，nn 为异面直线，m⊥m \perp 平面 α\alpha，n⊥n \perp 平面 β\beta，直线 ll 满足 l⊥ml \perp m，l⊥nl \perp n，l⊄αl \not\subset \alpha，l⊄βl \not\subset \beta，则（ ）
A.
α∥β\alpha \parallel \beta 且 l∥αl \parallel \alpha
B.
α⊥β\alpha \perp \beta 且 l⊥βl \perp \beta
C.
α\alpha 与 β\beta 相交，且交线垂直于 ll
D.
α\alpha 与 β\beta 相交，且交线平行于 ll

2013 · 全国 · 新课程二卷 · 理 · 第 4 题 · 选择题

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05计数原理与组合数学★★☆☆☆
已知 (1+ax)(1+x)5(1 + ax)(1 + x)^5 的展开式中 x2x^2 的系数为 5，则 a=a =（ ）
A.
−4-4
B.
−3-3
C.
−2-2
D.
−1-1

2013 · 全国 · 新课程二卷 · 理 · 第 5 题 · 选择题

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06数列★★☆☆☆
执行如图的程序框图，如果输入的 N=10N = 10，那么输出的 S=S =（ ）
{
}
A.
1+12+13+⋯+1101 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \dots + \frac{1}{10}
B.
1+12!+13!+⋯+110!1 + \frac{1}{2!} + \frac{1}{3!} + \dots + \frac{1}{10!}
C.
1+12+13+⋯+1111 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \dots + \frac{1}{11}
D.
1+12!+13!+⋯+111!1 + \frac{1}{2!} + \frac{1}{3!} + \dots + \frac{1}{11!}

2013 · 全国 · 新课程二卷 · 理 · 第 6 题 · 选择题

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07立体几何初步★★★☆☆
一个四面体的顶点在空间直角坐标系 O−xyzO - xyz 中的坐标分别是 (1,0,1)(1, 0, 1)，(1,1,0)(1, 1, 0)，(0,1,1)(0, 1, 1)，(0,0,0)(0, 0, 0)，画该四面体三视图中的正视图时，以 zOxzOx 平面为投影面，则得到正视图可以为（ ）
A.
B.
C.
D.

2013 · 全国 · 新课程二卷 · 理 · 第 7 题 · 选择题

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08指数函数与对数函数★★☆☆☆
设 a=log⁡36a = \log_{3} 6，b=log⁡510b = \log_{5} 10，c=log⁡714c = \log_{7} 14，则（ ）
A.
c>b>ac > b > a
B.
b>c>ab > c > a
C.
a>c>ba > c > b
D.
a>b>ca > b > c

2013 · 全国 · 新课程二卷 · 理 · 第 8 题 · 选择题

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09解析几何★★★☆☆
已知 a>0a > 0，xx，yy 满足约束条件
{x⩾1,x+y⩽3,y⩾a(x−3),\begin{cases} x \geqslant 1,\\ x + y \leqslant 3,\\ y \geqslant a (x - 3), \end{cases}
若 z=2x+yz = 2x + y 的最小值为 1，则 a=a =（ ）
A.
14\frac{1}{4}
B.
12\frac{1}{2}
C.
11
D.
22

2013 · 全国 · 新课程二卷 · 理 · 第 9 题 · 选择题

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10导数及其应用★★★★☆
已知函数 f(x)=x3+ax2+bx+cf(x) = x^3 + ax^2 + bx + c，下列结论中错误的是（ ）
A.
∃x0∈R,f(x0)=0\exists x_0 \in \mathbf{R}, f(x_0) = 0
B.
函数 y=f(x)y = f(x) 的图象是中心对称图形
C.
若 x0x_0 是 f(x)f(x) 的极小值点，则 f(x)f(x) 在区间 (−∞,x0)(-\infty, x_0) 单调递减
D.
若 x0x_0 是 f(x)f(x) 的极值点，则 f′(x0)=0f'(x_0) = 0

2013 · 全国 · 新课程二卷 · 理 · 第 10 题 · 选择题

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11解析几何★★★☆☆
设抛物线 C:y2=2pxC: y^2 = 2px（p>0p > 0）的焦点为 FF，点 MM 在 CC 上，∣MF∣=5|MF| = 5. 若以 MFMF 为直径的圆过点 (0,2)(0,2)，则 CC 的方程为（ ）
A.
y2=4xy^2 = 4x 或 y2=8xy^2 = 8x
B.
y2=2xy^2 = 2x 或 y2=8xy^2 = 8x
C.
y2=4xy^2 = 4x 或 y2=16xy^2 = 16x
D.
y2=2xy^2 = 2x 或 y2=16xy^2 = 16x

2013 · 全国 · 新课程二卷 · 理 · 第 11 题 · 选择题

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12解析几何★★★★★
已知点 A(−1,0)A(-1, 0)，B(1,0)B(1, 0)，C(0,1)C(0, 1)，直线 y=ax+by = ax + b（a>0a > 0）将 △ABC\triangle ABC 分割为面积相等的两部分，则 bb 的取值范围是（ ）
A.
(0,1)(0, 1)
B.
(1−22,12)\left(1 - \frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{1}{2}\right)
C.
(1−22,13]\left(1 - \frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{1}{3}\right]
D.
[13,12)\left[\frac{1}{3}, \frac{1}{2}\right)

2013 · 全国 · 新课程二卷 · 理 · 第 12 题 · 选择题

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13平面向量★☆☆☆☆
已知正方形 ABCDABCD 的边长为 22，EE 为 CDCD 的中点，则 AE→⋅BD→=\overrightarrow{AE} \cdot \overrightarrow{BD} =______.

2013 · 全国 · 新课程二卷 · 理 · 第 13 题 · 填空题

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14概率与统计★★☆☆☆
从 nn 个正整数 11，22，⋯\cdots，nn 中任意取出两个不同的数，若取出的两数之和等于 5 的概率为 114\frac{1}{14}，则 n=n =______.

2013 · 全国 · 新课程二卷 · 理 · 第 14 题 · 填空题

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15三角函数★★☆☆☆
设 θ\theta 为第二象限角，若 tan⁡(θ+π4)=12\tan \left( \theta + \frac{\pi}{4} \right) = \frac{1}{2}，则 sin⁡θ+cos⁡θ=\sin \theta + \cos \theta =______.

2013 · 全国 · 新课程二卷 · 理 · 第 15 题 · 填空题

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16数列★★★★☆
等差数列 {an}\{a_n\} 的前 nn 项和为 SnS_n，已知 S10=0S_{10} = 0，S15=25S_{15} = 25，则 nSnnS_n 的最小值为______.

2013 · 全国 · 新课程二卷 · 理 · 第 16 题 · 填空题

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17三角函数★★★☆☆
△ABC\triangle ABC 的内角 AA，BB，CC 的对边分别为 aa，bb，cc，已知 a=bcos⁡C+csin⁡Ba = b\cos C + c\sin B.
(1) 求 BB； (2) 若 b=2b = 2，求 △ABC\triangle ABC 面积的最大值.

2013 · 全国 · 新课程二卷 · 理 · 第 17 题 · 解答题

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18立体几何初步★★★☆☆
如图，直三棱柱 ABC−A1B1C1ABC - A_1B_1C_1 中，DD，EE 分别是 ABAB，BB1BB_1 的中点，AA1=AC=CB=22ABAA_1 = AC = CB = \frac{\sqrt{2}}{2}AB.
(1) 证明：BC1∥BC_1 \parallel 平面 A1CDA_1CD； (2) 求二面角 D−A1C−ED - A_1C - E 的正弦值.

2013 · 全国 · 新课程二卷 · 理 · 第 18 题 · 解答题

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19概率与统计★★★☆☆
经销商经销某种农产品，在一个销售季度内，每售出 1 t1\mathrm{~t} 该产品获利润 500 元500\text{ 元}，未售出的产品，每 1 t1\mathrm{~t} 亏损 300 元300\text{ 元}. 根据历史资料，得到销售季度内市场需求量的频率分布直方图，如图所示. 经销商为下一个销售季度购进了 130 t130\mathrm{~t} 该农产品. 以 XX（单位：t\mathrm{t}，100⩽X⩽150100 \leqslant X \leqslant 150）表示下一个销售季度内的市场需求量，TT（单位：元）表示下一个销售季度内经销该农产品的利润.
(1) 将 TT 表示为 XX 的函数； (2) 根据直方图估计利润 TT 不少于 57000 元的概率； (3) 在直方图的需求量分组中，以各组的区间中点值代表该组的各个值，需求量落入该区间的频率作为需求量取该区间中点值的概率（例如：若需求量 X∈[100,110)X \in [100, 110)，则取 X=105X = 105，且 X=105X = 105 的概率等于需求量落入 [100,110)[100, 110) 的频率），求 TT 的数学期望.

2013 · 全国 · 新课程二卷 · 理 · 第 19 题 · 解答题

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20解析几何★★★★☆
平面直角坐标系 xOyxOy 中，过椭圆 M:x2a2+y2b2=1M: \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1（a>b>0a > b > 0）右焦点的直线 x+y−3=0x + y - \sqrt{3} = 0 交 MM 于 AA，BB 两点，PP 为 ABAB 的中点，且 OPOP 的斜率为 12\frac{1}{2}.
(1) 求 MM 的方程； (2) CC，DD 为 MM 上两点，若四边形 ACBDACBD 的对角线 CD⊥ABCD \perp AB，求四边形 ACBDACBD 面积的最大值.

2013 · 全国 · 新课程二卷 · 理 · 第 20 题 · 解答题

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21导数及其应用★★★★☆
已知函数 f(x)=ex−ln⁡(x+m)f(x) = \mathrm{e}^{x} - \ln(x + m).
(1) 设 x=0x = 0 是 f(x)f(x) 的极值点，求 mm，并讨论 f(x)f(x) 的单调性； (2) 当 m⩽2m \leqslant 2 时，证明 f(x)>0f(x) > 0.

2013 · 全国 · 新课程二卷 · 理 · 第 21 题 · 解答题

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22三角函数★★★★☆
如图，CDCD 为 △ABC\triangle ABC 外接圆的切线，ABAB 的延长线交直线 CDCD 于点 DD，EE，FF 分别为弦 ABAB 与弦 ACAC 上的点，且 BC⋅AE=DC⋅AFBC \cdot AE = DC \cdot AF，BB，EE，FF，CC 四点共圆.
(1) 证明：CACA 是 △ABC\triangle ABC 外接圆的直径； (2) 若 DB=BE=EADB = BE = EA，求过 BB，EE，FF，CC 四点的圆的面积与 △ABC\triangle ABC 外接圆面积的比值.

2013 · 全国 · 新课程二卷 · 理 · 第 22 题 · 解答题

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23解析几何★★★☆☆
已知动点 PP，QQ 都在曲线
C:{x=2cos⁡t,y=2sin⁡t,C: \begin{cases} x = 2\cos t,\\ y = 2\sin t, \end{cases}
（tt 为参数）上，对应参数分别为 t=αt = \alpha 与 t=2αt = 2\alpha（0<α<2π0 < \alpha < 2\pi），MM 为 PQPQ 的中点.
(1) 求 MM 的轨迹的参数方程； (2) 将 MM 到坐标原点的距离 dd 表示为 α\alpha 的函数，并判断 MM 的轨迹是否过坐标原点.

2013 · 全国 · 新课程二卷 · 理 · 第 23 题 · 解答题

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24不等式★★★☆☆
设 aa，bb，cc 均为正数，且 a+b+c=1a + b + c = 1，证明：
(1) ab+bc+ca⩽13ab + bc + ca \leqslant \frac{1}{3}； (2) a2b+b2c+c2a⩾1\frac{a^2}{b} + \frac{b^2}{c} + \frac{c^2}{a} \geqslant 1.

2013 · 全国 · 新课程二卷 · 理 · 第 24 题 · 解答题

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