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01集合与逻辑基础★☆☆☆☆
已知集合 M={x∣x2<4}M = \{x \mid x^2 < 4\}，N={x∣x2−2x−3<0}N = \{x \mid x^2 - 2x - 3 < 0\}，则集合 M∩N=M \cap N =（\quad）
A.
{x∣x<−2}\{x \mid x < -2\}
B.
{x∣x>3}\{x \mid x > 3\}
C.
{x∣−1<x<2}\{x \mid -1 < x < 2\}
D.
{x∣2<x<3}\{x \mid 2 < x < 3\}

2004 · 全国 · 二卷 · 理 · 第 1 题 · 选择题

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02导数及其应用★☆☆☆☆
lim⁡x→1x2+x−2x2+4x−5=\displaystyle\lim_{x\to 1}\frac{x^2 + x - 2}{x^2 + 4x - 5} =（\quad）
A.
12\frac{1}{2}
B.
11
C.
25\frac{2}{5}
D.
14\frac{1}{4}

2004 · 全国 · 二卷 · 理 · 第 2 题 · 选择题

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03复数★★☆☆☆
设复数 ω=−12+32i\omega = -\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}\mathrm{i}，则 1+ω=1 + \omega =（\quad）
A.
−ω-\omega
B.
ω2\omega^2
C.
−1ω-\frac{1}{\omega}
D.
1ω2\frac{1}{\omega^2}

2004 · 全国 · 二卷 · 理 · 第 3 题 · 选择题

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04解析几何★☆☆☆☆
已知圆 CC 与圆 (x−1)2+y2=1(x - 1)^2 + y^2 = 1 关于直线 y=−xy = -x 对称，则圆 CC 的方程为（\quad）
A.
(x+1)2+y2=1(x + 1)^2 + y^2 = 1
B.
x2+y2=1x^{2} + y^{2} = 1
C.
x2+(y+1)2=1x^{2} + (y + 1)^{2} = 1
D.
x2+(y−1)2=1x^{2} + (y - 1)^{2} = 1

2004 · 全国 · 二卷 · 理 · 第 4 题 · 选择题

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05三角函数★☆☆☆☆
已知函数 y=tan⁡(2x+φ)y = \tan (2x + \varphi) 的图象过点 (π12,0)\left(\frac{\pi}{12}, 0\right)，则 φ\varphi 可以是（\quad）
A.
−π6-\frac{\pi}{6}
B.
π6\frac{\pi}{6}
C.
−π12-\frac{\pi}{12}
D.
π12\frac{\pi}{12}

2004 · 全国 · 二卷 · 理 · 第 5 题 · 选择题

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06函数与初等函数★☆☆☆☆
函数 y=−exy = -\mathrm{e}^{x} 的图象（\quad）
A.
与 y=exy = \mathrm{e}^{x} 的图象关于 yy 轴对称
B.
与 y=exy = \mathrm{e}^{x} 的图象关于坐标原点对称
C.
与 y=e−xy = \mathrm{e}^{-x} 的图象关于 yy 轴对称
D.
与 y=e−xy = \mathrm{e}^{-x} 的图象关于坐标原点对称

2004 · 全国 · 二卷 · 理 · 第 6 题 · 选择题

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07立体几何初步★★★☆☆
已知球 OO 的半径为 11，AA，BB，CC 三点都在球面上，且每两点间的球面距离为 π2\frac{\pi}{2}，则球心 OO 到平面 ABCABC 的距离为（\quad）
A.
13\frac{1}{3}
B.
33\frac{\sqrt{3}}{3}
C.
23\frac{2}{3}
D.
63\frac{\sqrt{6}}{3}

2004 · 全国 · 二卷 · 理 · 第 7 题 · 选择题

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08解析几何★★★☆☆
在坐标平面内，与点 A(1,2)A(1,2) 距离为 11，且与点 B(3,1)B(3,1) 距离为 22 的直线共有（\quad）
A.
1 条1\text{ 条}
B.
2 条2\text{ 条}
C.
3 条3\text{ 条}
D.
4 条4\text{ 条}

2004 · 全国 · 二卷 · 理 · 第 8 题 · 选择题

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09平面向量★★☆☆☆
已知平面上直线 LL 的方向向量 e=(−45,35)\boldsymbol{e} = \left(-\frac{4}{5}, \frac{3}{5}\right)，点 O(0,0)O(0,0) 和 A(1,−2)A(1, -2) 在 LL 上的射影分别是 O1O_{1} 和 A1A_{1}，则 O1A1→=λe\overrightarrow{O_{1}A_{1}} = \lambda \boldsymbol{e}，其中 λ=\lambda =（\quad）
A.
115\frac{11}{5}
B.
−115-\frac{11}{5}
C.
22
D.
−2-2

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10导数及其应用★★☆☆☆
函数 y=xcos⁡x−sin⁡xy = x\cos x - \sin x 在下面哪个区间内是增函数（\quad）
A.
(π2,3π2)\left(\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}\right)
B.
(π,2π)(\pi, 2\pi)
C.
(3π2,5π2)\left(\frac{3\pi}{2}, \frac{5\pi}{2}\right)
D.
(2π,3π)(2\pi, 3\pi)

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11三角函数★★☆☆☆
函数 y=sin⁡4x+cos⁡2xy = \sin^4 x + \cos^2 x 的最小正周期为（\quad）
A.
π4\frac{\pi}{4}
B.
π2\frac{\pi}{2}
C.
π\pi
D.
2π2\pi

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12计数原理与组合数学★★★★☆
在由数字 11，22，33，44，55 组成的所有没有重复数字的 55 位数中，大于 2314523145 且小于 4352143521 的数共有（\quad）
A.
56 个56\text{ 个}
B.
57 个57\text{ 个}
C.
58 个58\text{ 个}
D.
60 个60\text{ 个}

2004 · 全国 · 二卷 · 理 · 第 12 题 · 选择题

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13概率与统计★★☆☆☆
从装有 3 个3\text{ 个} 红球，2 个2\text{ 个} 白球的袋中随机取出 2 个2\text{ 个} 球，设其中有 ξ 个\xi\text{ 个} 红球，则随机变量 ξ\xi 的概率分布为：

2004 · 全国 · 二卷 · 理 · 第 13 题 · 填空题

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14不等式★★☆☆☆
设 xx，yy 满足约束条件
{x⩾0,x⩾y,2x−y⩽1,\begin{cases} x \geqslant 0,\\ x \geqslant y,\\ 2x - y \leqslant 1, \end{cases}
则 z=3x+2yz = 3x + 2y 的最大值是______.

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15解析几何★★☆☆☆
设中心在原点的椭圆与双曲线 2x2−2y2=12x^{2} - 2y^{2} = 1 有公共的焦点，且它们的离心率互为倒数，则该椭圆的方程是______.

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16立体几何初步★★★★☆
下面是关于四棱柱的四个命题：
① 若有两个侧面垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱； ② 若两个过相对侧棱的截面都垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱； ③ 若四个侧面两两全等，则该四棱柱为直四棱柱； ④ 若四棱柱的四条对角线两两相等，则该四棱柱为直四棱柱.
其中，真命题的编号是______.（写出所有真命题的编号）

2004 · 全国 · 二卷 · 理 · 第 16 题 · 填空题

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17三角函数★★★☆☆
已知锐角三角形 ABCABC 中，sin⁡(A+B)=35\sin(A+B)=\frac{3}{5}，sin⁡(A−B)=15\sin(A-B)=\frac{1}{5}. 求证：
(1) tan⁡A=2tan⁡B\tan A = 2\tan B； (2) 设 AB=3AB = 3，求 ABAB 边上的高.

2004 · 全国 · 二卷 · 理 · 第 17 题 · 解答题

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18概率与统计★★★☆☆
已知 8 支8\text{ 支} 球队中有 3 支3\text{ 支} 弱队，以抽签的方式将这 8 支8\text{ 支} 球队分为 A，B 两组，每组 4 支4\text{ 支}. 求：
(1) A，B 两组中有一组恰有 2 支2\text{ 支} 弱队的概率； (2) A 组中至少有 2 支2\text{ 支} 弱队的概率.

2004 · 全国 · 二卷 · 理 · 第 18 题 · 解答题

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19数列★★★☆☆
数列 {an}\{a_{n}\} 的前 nn 项和记为 SnS_{n}，已知 a1=1a_{1} = 1，an+1=n+2nSna_{n+1} = \frac{n+2}{n} S_{n} （n=1n = 1，22，33，…\ldots）. 证明：
(1) 数列 {Snn}\left\{\frac{S_{n}}{n}\right\} 是等比数列； (2) Sn+1=4anS_{n + 1} = 4a_n.

2004 · 全国 · 二卷 · 理 · 第 19 题 · 解答题

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20立体几何初步★★★★☆
如图，直三棱柱 ABC−A1B1C1ABC-A_1B_1C_1 中，∠ACB=90∘\angle ACB = 90^\circ，AC=1AC = 1，CB=2CB = \sqrt{2}，侧棱 AA1=1AA_1 = 1，侧面 AA1B1BAA_1B_1B 的两条对角线交点为 DD，B1C1B_1C_1 的中点为 MM.
(1) 证明 CD⊥CD \perp 平面 BDMBDM； (2) 求面 B1BDB_1BD 与面 CBDCBD 所成二面角的大小.

2004 · 全国 · 二卷 · 理 · 第 20 题 · 解答题

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21解析几何★★★★☆
给定抛物线 C:y2=4xC: y^{2} = 4x，FF 是 CC 的焦点，过点 FF 的直线 ll 与 CC 相交于 AA，BB 两点.
(1) 设 ll 的斜率为 11，求 OA→\overrightarrow{OA} 与 OB→\overrightarrow{OB} 夹角的大小； (2) 设 FB→=λAF→\overrightarrow{FB} = \lambda\overrightarrow{AF}，若 λ∈[4,9]\lambda \in [4,9]，求 ll 在 yy 轴上截距的变化范围.

2004 · 全国 · 二卷 · 理 · 第 21 题 · 解答题

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22导数及其应用★★★★★
已知函数 f(x)=ln⁡(1+x)−xf(x) = \ln(1 + x) - x，g(x)=xln⁡xg(x) = x \ln x.
(1) 求函数 f(x)f(x) 的最大值； (2) 设 0<a<b0 < a < b，证明：0<g(a)+g(b)−2g(a+b2)<(b−a)ln⁡20 < g(a) + g(b) - 2g\left(\frac{a + b}{2}\right) < (b - a)\ln 2.

2004 · 全国 · 二卷 · 理 · 第 22 题 · 解答题

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