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02
导数及其应用
★☆☆☆☆
lim
x
→
1
x
2
+
x
−
2
x
2
+
4
x
−
5
=
\displaystyle\lim_{x\to 1}\frac{x^2 + x - 2}{x^2 + 4x - 5} =
x
→
1
lim
x
2
+
4
x
−
5
x
2
+
x
−
2
=
（
\quad
）
A.
1
2
\frac{1}{2}
2
1
B.
1
1
1
C.
2
5
\frac{2}{5}
5
2
D.
1
4
\frac{1}{4}
4
1
2004 · 全国 · 二卷 · 理 · 第 2 题 · 选择题
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10
导数及其应用
★★☆☆☆
函数
y
=
x
cos
x
−
sin
x
y = x\cos x - \sin x
y
=
x
cos
x
−
sin
x
在下面哪个区间内是增函数（
\quad
）
A.
(
π
2
,
3
π
2
)
\left(\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}\right)
(
2
π
,
2
3
π
)
B.
(
π
,
2
π
)
(\pi, 2\pi)
(
π
,
2
π
)
C.
(
3
π
2
,
5
π
2
)
\left(\frac{3\pi}{2}, \frac{5\pi}{2}\right)
(
2
3
π
,
2
5
π
)
D.
(
2
π
,
3
π
)
(2\pi, 3\pi)
(
2
π
,
3
π
)
2004 · 全国 · 二卷 · 理 · 第 10 题 · 选择题
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22
导数及其应用
★★★★★
已知函数
f
(
x
)
=
ln
(
1
+
x
)
−
x
f(x) = \ln(1 + x) - x
f
(
x
)
=
ln
(
1
+
x
)
−
x
，
g
(
x
)
=
x
ln
x
g(x) = x \ln x
g
(
x
)
=
x
ln
x
.
(1) 求函数
f
(
x
)
f(x)
f
(
x
)
的最大值； (2) 设
0
<
a
<
b
0 < a < b
0
<
a
<
b
，证明：
0
<
g
(
a
)
+
g
(
b
)
−
2
g
(
a
+
b
2
)
<
(
b
−
a
)
ln
2
0 < g(a) + g(b) - 2g\left(\frac{a + b}{2}\right) < (b - a)\ln 2
0
<
g
(
a
)
+
g
(
b
)
−
2
g
(
2
a
+
b
)
<
(
b
−
a
)
ln
2
.
2004 · 全国 · 二卷 · 理 · 第 22 题 · 解答题
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