焦点在 $\left(-1,0\right)$，顶点在 $\left(1,0\right)$ 的抛物线方程是（$\quad$）

\begin{solution} 抛物线的焦点和顶点都在 $x$ 轴上，且焦点 $(-1,0)$ 在顶点 $(1,0)$ 的左侧，所以抛物线开口向左. 顶点到焦点的距离为 $2$，故其标准方程为 $y^2=-4\times2\left(x-1\right)=-8\left(x-1\right)$. 故选 D. \end{solution}

如果圆锥曲线的极坐标方程为 $\rho=\frac{16}{5-3\cos\theta}$，那么它的焦点的极坐标为（$\quad$）

\begin{solution} 令 $\rho=\sqrt{x^2+y^2}$，则 $\rho\cos\theta=x$. 原极坐标方程化为 $5\rho=16+3x$. 由于 $5-3\cos\theta>0$，两边平方不引入额外点，得 $25(x^2+y^2)=(16+3x)^2$，即 $16(x-3)^2+25y^2=400$，或 $\frac{(x-3)^2}{25}+\frac{y^2}{16}=1$. 该椭圆的中心为 $(3,0)$，半长轴为 $5$，半短轴为 $4$，焦距的一半为 $\sqrt{5^2-4^2}=3$. 所以两个焦点为 $(0,0)$、$(6,0)$，选 D. \end{solution}

如果 $AC<0$ 且 $BC<0$，那么直线 $Ax+By+C=0$ 不通过（$\quad$）

\begin{solution} 由 $AC<0$、$BC<0$ 可知 $A$、$B$ 同号且与 $C$ 异号. 将方程整体乘以 $-1$ 后不改变直线，可设 $A>0$、$B>0$、$C<0$. 当点在第三象限时，$x<0$、$y<0$，于是 $Ax+By+C<0$，不可能等于 $0$. 因此直线不通过第三象限，选 C. \end{solution}

圆 $x^{2} + 2x + y^{2} + 4y - 3 = 0$ 上到直线 $x + y + 1 = 0$ 的距离为 $\sqrt{2}$ 的点共有（$\quad$）

\begin{solution} 圆的方程化为 $\left(x+1\right)^2+\left(y+2\right)^2=8$，圆心为 $(-1,-2)$，半径为 $2\sqrt2$. 设所求点到直线的距离为 $\sqrt2$，则 $\lvert x+y+1\rvert=2$，所以这些点在两条直线 $x+y=1$ 或 $x+y=-3$ 上. 直线 $x+y=1$ 到圆心的距离为 $2\sqrt{2}$，与圆相切，有 $1$ 个交点；直线 $x+y=-3$ 经过圆心，与圆有 $2$ 个交点. 共有 $3$ 个点，选 C. \end{solution}

双曲线的中心在坐标原点 $O$，焦点在 $x$ 轴上，过双曲线右焦点且斜率为 $\sqrt{\frac{3}{5}}$ 的直线交双曲线于 $P$，$Q$ 两点，若 $OP\perp OQ$，$|PQ|=4$，求双曲线的方程.

\begin{solution} 设双曲线方程为 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$，其中 $a>0$、$b>0$，焦距的一半为 $c$，则 $c^2=a^2+b^2$. 令 $m=\sqrt{\frac35}$，右焦点为 $(c,0)$，所给直线为 $y=m(x-c)$. 设它与双曲线的两个交点的横坐标为 $x_1$，$x_2$，代入双曲线方程并整理，得 若 $5b^2-3a^2=0$，直线与双曲线的一条渐近线平行，不能有两个交点，故 $5b^2-3a^2\ne0$. 由根与系数的关系，记 $S=x_1+x_2$、$T=x_1x_2$，则 $S=-\frac{6a^2c}{5b^2-3a^2}$，$T=-\frac{a^2(3c^2+5b^2)}{5b^2-3a^2}$.

交点坐标为 $P=(x_1,m(x_1-c))$、$Q=(x_2,m(x_2-c))$. 由 $OP\perp OQ$，得 即 $8T-3cS+3c^2=0$. 代入 $S$，$T$ 得 再用 $c^2=a^2+b^2$ 化简为 $3b^4-8a^2b^2-3a^4=0$，即 $(3b^2+a^2)(b^2-3a^2)=0$. 因为 $a$，$b>0$，所以 $b^2=3a^2$，从而 $c=2a$.

此时由上面的根与系数关系得 $S=-a$、$T=-\frac{9a^2}{4}$，故 $(x_2-x_1)^2=S^2-4T=10a^2$. 又因两点在斜率为 $m$ 的直线上，$|PQ|^2=(1+m^2)(x_2-x_1)^2=\frac85\cdot10a^2=16a^2$. 由 $|PQ|=4$，得 $a^2=1$，于是 $b^2=3$. 所求双曲线方程为 $\boxed{x^2-\frac{y^2}{3}=1}$. \end{solution}