从 $4$ 台甲型和 $5$ 台乙型电视机中任意取出 $3$ 台，其中至少要有甲型与乙型电视机各 $1$ 台，则不同的取法共有（$\quad$）

\begin{solution} 从 $9$ 台电视机中取出 $3$ 台的总取法数为 $\mathrm C_9^3$. 其中全取甲型有 $\mathrm C_4^3$ 种，全取乙型有 $\mathrm C_5^3$ 种. 因而至少各有一台的取法数为 $\mathrm C_9^3-\mathrm C_4^3-\mathrm C_5^3=84-4-10=70$，选 C. \end{solution}

$\left(ax+1\right)^7$ 的展开式中，$x^3$ 的系数是 $x^2$ 的系数与 $x^4$ 的系数的等差中项，若实数 $a>1$，那么 $a=$______.

\begin{solution} 在 $(ax+1)^7$ 的展开式中，$x^k$ 的系数为 $\mathrm C_7^k a^k$. 因而 $x^2$，$x^3$，$x^4$ 的系数分别为 $21a^2$、$35a^3$、$35a^4$. 由等差中项关系，$2\times35a^3=21a^2+35a^4$. 因为 $a>1$，可除以 $7a^2$，得到 $5a^2-10a+3=0$，所以 $a=1\pm\frac{\sqrt{10}}{5}$. 结合 $a>1$，得 $a=1+\frac{\sqrt{10}}{5}$. \end{solution}