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22复数★★☆☆☆
已知复数 z=1+iz=1+\mathrm{i}，求复数 z2−3z+6z+1\frac{z^2-3z+6}{z+1} 的模和辐角的主值.
\begin{solution} 因为 z=1+iz=1+\mathrm{i}，所以 z2=2iz^2=2\mathrm{i}，从而 z2−3z+6=3−iz^2-3z+6=3-\mathrm{i}，且 z+1=2+iz+1=2+\mathrm{i}. 因此
z2−3z+6z+1=3−i2+i=(3−i)(2−i)(2+i)(2−i)=1−i\frac{z^2-3z+6}{z+1}=\frac{3-\mathrm{i}}{2+\mathrm{i}}=\frac{(3-\mathrm{i})(2-\mathrm{i})}{(2+\mathrm{i})(2-\mathrm{i})}=1-\mathrm{i}
故该复数的模为 2\sqrt2. 因为 1−i1-\mathrm{i} 对应的点在第四象限，且其辐角的主值取 [0,2π)[0,2\pi) 内的值，所以主值为 7π4\frac{7\pi}{4}. \end{solution}

1991 · 全国 · 理 · 第 22 题 · 解答题

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