不等式 $6^{x^2+x-2}<1$ 的解集是______.

\begin{solution} 因为底数 $6>1$，所以 $6^{x^2+x-2}<1$ 等价于 $x^2+x-2<0$. 因式分解得 $(x+2)(x-1)<0$，故解集为 $\left(-2,1\right)$. \end{solution}

已知 $n$ 为自然数，实数 $a>1$，解关于 $x$ 的不等式：$\log_a x-4\log_{a^2} x+12\log_{a^3} x+\cdots+n(-2)^{n-1}\log_{a^n} x>\frac{1-(-2)^n}{3}\log_a\left(x^2-a\right)$.

\begin{solution} 由定义域知 $x>0$ 且 $x^2-a>0$，所以必须有 $x>\sqrt a$. 又由换底公式 $\log_{a^k}x=\frac1k\log_a x$，左端等于 因此原不等式化为 $\frac{1-(-2)^n}{3}\log_a x>\frac{1-(-2)^n}{3}\log_a\left(x^2-a\right)$.

当 $n$ 为奇数时，$\frac{1-(-2)^n}{3}>0$. 因为 $a>1$，不等式等价于 $x>x^2-a$，即 $x^2-x-a<0$. 记 $r=\frac{1+\sqrt{1+4a}}{2}$，则二次式的两个根为 $\frac{1-\sqrt{1+4a}}{2}<0$、$r>0$，所以不等式的正根区间为 $0<x<r$. 与定义域交得 $\sqrt a<x<r$；并且由 $r^2=r+a>a$ 知该区间确实非空.

当 $n$ 为偶数时，$\frac{1-(-2)^n}{3}<0$，不等式变为 $x<x^2-a$，即 $x^2-x-a>0$. 因为负根小于 $0<\sqrt a$，结合定义域得 $x>r$. 综上，当 $n$ 为奇数时，解集为 $\left\{x\mid\sqrt a<x<\frac{1+\sqrt{1+4a}}{2}\right\}$；当 $n$ 为偶数时，解集为 $\left\{x\mid x>\frac{1+\sqrt{1+4a}}{2}\right\}$. \end{solution}