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01三角函数★☆☆☆☆
已知 sin⁡α=45\sin \alpha = \frac{4}{5}，并且 α\alpha 是第二象限的角，那么 tan⁡α\tan \alpha 的值等于（\quad）
\begin{solution} 由 sin⁡2α+cos⁡2α=1\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1，得 cos⁡2α=1−1625=925\cos^2\alpha=1-\frac{16}{25}=\frac{9}{25}. 因为 α\alpha 是第二象限的角，所以 cos⁡α=−35\cos\alpha=-\frac{3}{5}，从而 tan⁡α=sin⁡αcos⁡α=−43\tan\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}=-\frac{4}{3}. 故选 A. \end{solution}
A.
−43-\frac{4}{3}
B.
−34-\frac{3}{4}
C.
34\frac{3}{4}
D.
43\frac{4}{3}

1991 · 全国 · 理 · 第 1 题 · 选择题

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03三角函数★★☆☆☆
函数 y=cos⁡4x−sin⁡4xy=\cos^4 x-\sin^4 x 的最小正周期是（\quad）
\begin{solution} 利用平方差公式，cos⁡4x−sin⁡4x=(cos⁡2x−sin⁡2x)(cos⁡2x+sin⁡2x)=cos⁡2x\cos^4x-\sin^4x=\left(\cos^2x-\sin^2x\right)\left(\cos^2x+\sin^2x\right)=\cos2x. 函数 cos⁡2x\cos2x 的最小正周期为 π\pi，故选 B. \end{solution}
A.
π2\frac{\pi}{2}
B.
π\pi
C.
2π2\pi
D.
4π4\pi

1991 · 全国 · 理 · 第 3 题 · 选择题

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05三角函数★★☆☆☆
函数 y=sin⁡(2x+5π2)y=\sin\left(2x+\frac{5\pi}{2}\right) 的图象的一条对称轴的方程是（\quad）
\begin{solution} 因为 sin⁡(2x+5π2)=sin⁡(2x+π2)=cos⁡2x\sin\left(2x+\frac{5\pi}{2}\right)=\sin\left(2x+\frac{\pi}{2}\right)=\cos2x，所以函数图象是 y=cos⁡2xy=\cos2x. 其对称轴为 x=kπ2x=\frac{k\pi}{2}，其中 k∈Zk\in\mathbf{Z}，取 k=−1k=-1 得 x=−π2x=-\frac{\pi}{2}. 故选 A. \end{solution}
A.
x=−π2x = -\frac{\pi}{2}
B.
x=−π4x = -\frac{\pi}{4}
C.
x=π8x = \frac{\pi}{8}
D.
x=5π4x = \frac{5\pi}{4}

1991 · 全国 · 理 · 第 5 题 · 选择题

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16三角函数★★☆☆☆
arctan⁡13+arctan⁡12\arctan \frac{1}{3}+\arctan \frac{1}{2} 的值是______.
\begin{solution} 设 u=arctan⁡13+arctan⁡12u=\arctan\frac{1}{3}+\arctan\frac{1}{2}，则 0<u<π0<u<\pi. 由正切和角公式，tan⁡u=13+121−16=1>0\tan u=\frac{\frac13+\frac12}{1-\frac16}=1>0，且分母为正说明 cos⁡u>0\cos u>0，所以 u∈(0,π2)u\in\left(0,\frac{\pi}{2}\right). 因而 u=π4u=\frac{\pi}{4}. \end{solution}

1991 · 全国 · 理 · 第 16 题 · 填空题

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21三角函数★★★☆☆
求函数 y=sin⁡2x+2sin⁡xcos⁡x+3cos⁡2xy=\sin^2 x+2\sin x\cos x+3\cos^2 x 的最小值，并写出使函数 yy 取最小值的 xx 的集合.
\begin{solution} 由 sin⁡2x=1−cos⁡2x2\sin^2x=\frac{1-\cos2x}{2}、cos⁡2x=1+cos⁡2x2\cos^2x=\frac{1+\cos2x}{2} 及 2sin⁡xcos⁡x=sin⁡2x2\sin x\cos x=\sin2x，得
y=2+cos⁡2x+sin⁡2x=2+2sin⁡(2x+π4)≥2−2y=2+\cos2x+\sin2x=2+\sqrt2\sin\left(2x+\frac{\pi}{4}\right)\geq 2-\sqrt2
当且仅当 sin⁡(2x+π4)=−1\sin\left(2x+\frac{\pi}{4}\right)=-1 时取等号，即 2x+π4=−π2+2kπ2x+\frac{\pi}{4}=-\frac{\pi}{2}+2k\pi，所以 x=kπ−3π8x=k\pi-\frac{3\pi}{8}，其中 k∈Zk\in\mathbf{Z}. 因此最小值为 2−22-\sqrt2，使函数取最小值的 xx 的集合为 {x∣x=kπ−3π8, k∈Z}\left\{x\mid x=k\pi-\frac{3\pi}{8},\ k\in\mathbf{Z}\right\}. \end{solution}

1991 · 全国 · 理 · 第 21 题 · 解答题

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