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01集合与逻辑基础★☆☆☆☆
已知集合 A={x∣∣x∣<2}A=\{x\mid |x|<2\}，B={−1,0,1,2,3}B=\{-1,0,1,2,3\}，则 A∩B=A\cap B=（ ）
A.
{0,1}\{0,1\}
B.
{0,1,2}\{0,1,2\}
C.
{−1,0,1}\{-1,0,1\}
D.
{−1,0,1,2}\{-1,0,1,2\}

2016 · 北京 · 理 · 第 1 题 · 选择题

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02不等式★★☆☆☆
若 xx，yy 满足
{2x−y≤0,x+y≤3,x≥0,\begin{cases} 2x-y\le 0,\\ x+y\le 3,\\ x\ge 0, \end{cases}
则 2x+y2x+y 的最大值为（ ）
A.
00
B.
33
C.
44
D.
55

2016 · 北京 · 理 · 第 2 题 · 选择题

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03函数与初等函数★★☆☆☆
执行如图所示的程序框图，若输入的 aa 值为 11，则输出的 kk 值为（ ）
A.
11
B.
22
C.
33
D.
44

2016 · 北京 · 理 · 第 3 题 · 选择题

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04平面向量★★☆☆☆
设 a\boldsymbol{a}，b\boldsymbol{b} 是向量，则“∣a∣=∣b∣|\boldsymbol{a}|=|\boldsymbol{b}|”是“∣a+b∣=∣a−b∣|\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}|=|\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b}|”的（ ）
A.
充分而不必要条件
B.
必要而不充分条件
C.
充分必要条件
D.
既不充分也不必要条件

2016 · 北京 · 理 · 第 4 题 · 选择题

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05指数函数与对数函数★☆☆☆☆
已知 xx，y∈Ry\in\mathbf{R}，且 x>y>0x>y>0，则（ ）
A.
1x−1y>0\dfrac1x-\dfrac1y>0
B.
sin⁡x−sin⁡y>0\sin x-\sin y>0
C.
(12)x−(12)y<0\left(\dfrac12\right)^x-\left(\dfrac12\right)^y<0
D.
ln⁡x+ln⁡y>0\ln x+\ln y>0

2016 · 北京 · 理 · 第 5 题 · 选择题

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06立体几何初步★★☆☆☆
某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（ ）
A.
16\dfrac16
B.
13\dfrac13
C.
12\dfrac12
D.
11

2016 · 北京 · 理 · 第 6 题 · 选择题

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07三角函数★★☆☆☆
将函数 y=sin⁡(2x−π3)y=\sin\left(2x-\dfrac{\pi}{3}\right) 图象上的点 P(π4,t)P\left(\dfrac{\pi}{4},t\right) 向左平移 ss（s>0s>0）个单位长度得到点 P′P'，若 P′P' 位于函数 y=sin⁡2xy=\sin2x 的图象上，则（ ）
A.
t=12t=\dfrac12，ss 的最小值为 π6\dfrac{\pi}{6}
B.
t=32t=\dfrac{\sqrt3}{2}，ss 的最小值为 π6\dfrac{\pi}{6}
C.
t=12t=\dfrac12，ss 的最小值为 π3\dfrac{\pi}{3}
D.
t=32t=\dfrac{\sqrt3}{2}，ss 的最小值为 π3\dfrac{\pi}{3}

2016 · 北京 · 理 · 第 7 题 · 选择题

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08概率与统计★★★★☆
袋中装有偶数个球，其中红球，黑球各占一半. 甲，乙，丙是三个空盒. 每次从袋中任意取出两个球，将其中一个球放入甲盒，如果这个球是红球，就将另一个放入乙盒，否则就放入丙盒. 重复上述过程，直到袋中所有球都被放入盒中，则（ ）
A.
乙盒中黑球不多于丙盒中黑球
B.
乙盒中红球与丙盒中黑球一样多
C.
乙盒中红球不多于丙盒中红球
D.
乙盒中黑球与丙盒中红球一样多

2016 · 北京 · 理 · 第 8 题 · 选择题

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09复数★☆☆☆☆
设 a∈Ra\in\mathbf{R}，若复数 (1+i)(a+i)(1+\mathrm{i})(a+\mathrm{i}) 在复平面内对应的点位于实轴上，则 a=‾a=\underline{\hspace{2em}}.

2016 · 北京 · 理 · 第 9 题 · 填空题

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10计数原理与组合数学★☆☆☆☆
在 (1−2x)6(1-2x)^6 的展开式中，x2x^2 的系数为______（用数字作答）.

2016 · 北京 · 理 · 第 10 题 · 填空题

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11解析几何★★★☆☆
在极坐标系中，直线 ρcos⁡θ−3ρsin⁡θ−1=0\rho\cos\theta-\sqrt{3}\rho\sin\theta-1=0 与圆 ρ=2cos⁡θ\rho=2\cos\theta 交于 AA，BB 两点，则 ∣AB∣=‾|AB|=\underline{\hspace{2em}}.

2016 · 北京 · 理 · 第 11 题 · 填空题

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12数列★★☆☆☆
已知 {an}\{a_n\} 为等差数列，SnS_n 为其前 nn 项和. 若 a1=6a_1=6，a3+a5=0a_3+a_5=0，则 S6=‾S_6=\underline{\hspace{2em}}.

2016 · 北京 · 理 · 第 12 题 · 填空题

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13解析几何★★★☆☆
双曲线 x2a2−y2b2=1\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1（a>0a>0，b>0b>0）的渐近线为正方形 OABCOABC 的边 OAOA，OCOC 所在的直线，点 BB 为该双曲线的焦点. 若正方形 OABCOABC 的边长为 22，则 a=‾a=\underline{\hspace{2em}}.

2016 · 北京 · 理 · 第 13 题 · 填空题

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14导数及其应用★★★★☆
设函数
f(x)={x3−3x,x≤a,−2x,x>a.f(x)=\begin{cases} x^3-3x, & x\le a,\\ -2x, & x>a. \end{cases}
(1) 若 a=0a=0，则 f(x)f(x) 的最大值为______； (2) 若 f(x)f(x) 无最大值，则实数 aa 的取值范围是______.

2016 · 北京 · 理 · 第 14 题 · 填空题

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15三角函数★★★☆☆
在 △ABC\triangle ABC 中，a2+c2=b2+2aca^2+c^2=b^2+\sqrt{2}ac.
(1) 求 ∠B\angle B 的大小； (2) 求 2cos⁡A+cos⁡C\sqrt{2}\cos A+\cos C 的最大值.

2016 · 北京 · 理 · 第 15 题 · 解答题

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16概率与统计★★★☆☆
AA，BB，CC 三个班共有 100100 名学生，为调查他们的体育锻炼情况，通过分层抽样获得了部分学生一周的锻炼时间，数据如表（单位：小时）：
(1) 试估计 CC 班的学生人数； (2) 从 A 班和 C 班抽出的学生中，各随机选取一个人，A 班选出的人记为甲，C 班选出的人记为乙. 假设所有学生的锻炼时间相对独立，求该周甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长的概率； (3) 再从 A，B，C 三班中各随机抽取一名学生，他们该周锻炼时间分别是 77，99，8.258.25（单位：小时），这 33 个新数据与表格中的数据构成的新样本的平均数记为 μ1\mu_1，表格中数据的平均数记为 μ0\mu_0，试判断 μ0\mu_0 和 μ1\mu_1 的大小（结论不要求证明）.

2016 · 北京 · 理 · 第 16 题 · 解答题

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17立体几何初步★★★★☆
如图，在四棱锥 P−ABCDP-ABCD 中，平面 PAD⊥PAD\perp 平面 ABCDABCD，PA⊥PDPA\perp PD，PA=PDPA=PD，AB⊥ADAB\perp AD，AB=1AB=1，AD=2AD=2，AC=CD=5AC=CD=\sqrt5.
(1) 求证：PD⊥PD\perp 平面 PABPAB； (2) 求直线 PBPB 与平面 PCDPCD 所成角的正弦值； (3) 在棱 PAPA 上是否存在点 MM，使得 BM∥BM\parallel 平面 PCDPCD？若存在，求 AMAP\dfrac{AM}{AP} 的值，若不存在，说明理由.

2016 · 北京 · 理 · 第 17 题 · 解答题

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18导数及其应用★★★☆☆
设函数 f(x)=xea−x+bxf(x)=x\mathrm{e}^{a-x}+bx，曲线 y=f(x)y=f(x) 在点 (2,f(2))(2,f(2)) 处的切线方程为 y=(e−1)x+4y=(\mathrm{e}-1)x+4.
(1) 求 aa，bb 的值； (2) 求 f(x)f(x) 的单调区间.

2016 · 北京 · 理 · 第 18 题 · 解答题

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19解析几何★★★★☆
已知椭圆 C:x2a2+y2b2=1C:\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1（a>b>0a>b>0）的离心率为 32\dfrac{\sqrt3}{2}，A(a,0)A(a,0)，B(0,b)B(0,b)，O(0,0)O(0,0)，△OAB\triangle OAB 的面积为 11.
(1) 求椭圆 CC 的方程； (2) 设 PP 是椭圆 CC 上一点，直线 PAPA 与 yy 轴交于点 MM，直线 PBPB 与 xx 轴交于点 NN. 求证：∣AN∣⋅∣BM∣|AN|\cdot|BM| 为定值.

2016 · 北京 · 理 · 第 19 题 · 解答题

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20数列★★★★★
设数列 AA：a1a_1，a2a_2，…\ldots，aNa_N（N≥2N\ge2）. 如果对小于 nn（2≤n≤N2\le n\le N）的每个正整数 kk 都有 ak<ana_k<a_n，则称 nn 是数列 AA 的一个“GG时刻”，记 G(A)G(A) 是数列 AA 的所有“GG时刻”组成的集合.
(1) 对数列 AA：−2-2，22，−1-1，11，33，写出 G(A)G(A) 的所有元素； (2) 证明：若数列 AA 中存在 ana_n 使得 an>a1a_n>a_1，则 G(A)≠∅G(A)\ne\varnothing； (3) 证明：若数列 AA 满足 an−an−1≤1a_n-a_{n-1}\le1（n=2n=2，33，…\ldots，NN），则 G(A)G(A) 的元素个数不小于 aN−a1a_N-a_1.

2016 · 北京 · 理 · 第 20 题 · 解答题

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