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01集合与逻辑基础★☆☆☆☆
已知 U={1,2,3,4,5,6,7,8}U = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8\}， A={1,3,5,7}A = \{1, 3, 5, 7\}， B={2,4,5}B = \{2, 4, 5\}，则 ∁U(A∪B)=\complement_{U}(A \cup B) =（ ）
A.
{6,8}\{6, 8\}
B.
{5,7}\{5,7\}
C.
{4,6,7}\{4, 6, 7\}
D.
{1,3,5,6,8}\{1, 3, 5, 6, 8\}

2011 · 湖北 · 文 · 第 1 题 · 选择题

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02平面向量★★☆☆☆
若向量 a=(1,2)\boldsymbol{a} = (1, 2)，b=(1,−1)\boldsymbol{b} = (1, -1)，则 2a+b2\boldsymbol{a} + \boldsymbol{b} 与 a−b\boldsymbol{a} - \boldsymbol{b} 的夹角等于（ ）
A.
−π4-\frac{\pi}{4}
B.
π6\frac{\pi}{6}
C.
π4\frac{\pi}{4}
D.
3π4\frac{3\pi}{4}

2011 · 湖北 · 文 · 第 2 题 · 选择题

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03函数与初等函数★★☆☆☆
若定义在 R\mathbf{R} 上的偶函数 f(x)f(x) 和奇函数 g(x)g(x) 满足 f(x)+g(x)=exf(x) + g(x) = \mathrm{e}^{x}，则 g(x)=g(x) =（ ）
A.
ex−e−x\mathrm{e}^x - \mathrm{e}^{-x}
B.
12(ex+e−x)\frac{1}{2} (\mathrm{e}^x + \mathrm{e}^{-x})
C.
12(e−x−ex)\frac{1}{2} (\mathrm{e}^{-x} - \mathrm{e}^{x})
D.
12(ex−e−x)\frac{1}{2} (\mathrm{e}^{x} - \mathrm{e}^{-x})

2011 · 湖北 · 文 · 第 3 题 · 选择题

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04解析几何★★★☆☆
将两个顶点在抛物线 y2=2pxy^{2} = 2px（p>0p > 0） 上，另一个顶点是此抛物线焦点的正三角形个数记为 nn，则（ ）
A.
n=0n = 0
B.
n=1n = 1
C.
n=2n = 2
D.
n⩾3n \geqslant 3

2011 · 湖北 · 文 · 第 4 题 · 选择题

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05概率与统计★☆☆☆☆
有一个容量为 200200 的样本，其频率分布直方图如图所示，根据样本的频率分布直方图估计，样本数据落在区间 [10,12)[10,12) 内的频数为（ ）
A.
1818
B.
3636
C.
5454
D.
7272

2011 · 湖北 · 文 · 第 5 题 · 选择题

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06三角函数★★☆☆☆
已知函数 f(x)=3sin⁡x−cos⁡xf(x) = \sqrt{3}\sin x - \cos x，x∈Rx \in \mathbf{R}. 若 f(x)⩾1f(x) \geqslant 1，则 xx 的取值范围为（ ）
A.
{x∣2kπ+π3⩽x⩽2kπ+π,k∈Z}\left\{x\mid 2k\pi +\frac{\pi}{3}\leqslant x\leqslant 2k\pi +\pi ,k\in \mathbf{Z}\right\}
B.
{x∣kπ+π3⩽x⩽kπ+π,k∈Z}\left\{x\mid k\pi +\frac{\pi}{3}\leqslant x\leqslant k\pi +\pi,k\in \mathbf{Z}\right\}
C.
{x∣2kπ+π6⩽x⩽2kπ+5π6,k∈Z}\left\{x\mid 2k\pi +\frac{\pi}{6}\leqslant x\leqslant 2k\pi +\frac{5\pi}{6},k\in \mathbf{Z}\right\}
D.
{x∣kπ+π6⩽x⩽kπ+5π6,k∈Z}\left\{x\mid k\pi +\frac{\pi}{6}\leqslant x\leqslant k\pi +\frac{5\pi}{6},k\in \mathbf{Z}\right\}

2011 · 湖北 · 文 · 第 6 题 · 选择题

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07立体几何初步★★★☆☆
设球的体积为 V1V_{1}. 它的内接正方体的体积为 V2V_{2}. 下列说法中最合适的是（ ）
A.
V1V_{1} 比 V2V_{2} 大约多一半
B.
V1V_{1} 比 V2V_{2} 大约多两倍半
C.
V1V_{1} 比 V2V_{2} 大约多一倍
D.
V1V_{1} 比 V2V_{2} 大约多一倍半

2011 · 湖北 · 文 · 第 7 题 · 选择题

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08不等式★★★☆☆
直线 2x+y−10=02x + y - 10 = 0 与不等式组
{x⩾0,y⩾0,x−y⩾−2,4x+3y⩽20\begin{cases} x \geqslant 0,\\ y \geqslant 0,\\ x - y \geqslant -2,\\ 4x + 3y \leqslant 20 \end{cases}
表示的平面区域的公共点有（ ）
A.
0 个0\text{ 个}
B.
1 个1\text{ 个}
C.
2 个2\text{ 个}
D.
无数个

2011 · 湖北 · 文 · 第 8 题 · 选择题

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09数列★★★☆☆
《九章算术》“竹九节”问题：现有一根 99 节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面 44 节的容积共 3 升3\text{ 升}，下面 33 节的容积共 4 升4\text{ 升}，则第 55 节的容积为（ ）
A.
1 升1\text{ 升}
B.
6766 升\frac{67}{66}\text{ 升}
C.
4744 升\frac{47}{44}\text{ 升}
D.
3733 升\frac{37}{33}\text{ 升}

2011 · 湖北 · 文 · 第 9 题 · 选择题

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10集合与逻辑基础★★★☆☆
若实数 aa，bb 满足 a⩾0a \geqslant 0，b⩾0b \geqslant 0，且 ab=0ab = 0，则称 aa 与 bb 互补. 记 φ(a,b)=a2+b2−a−b\varphi(a, b) = \sqrt{a^2 + b^2} - a - b，那么 φ(a,b)=0\varphi(a, b) = 0 是 aa 与 bb 互补的（ ）
A.
必要而不充分条件
B.
充分而不必要条件
C.
充要条件
D.
既不充分也不必要条件

2011 · 湖北 · 文 · 第 10 题 · 选择题

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11概率与统计★☆☆☆☆
某市有大型超市 200 家200\text{ 家}，中型超市 400 家400\text{ 家}，小型超市 1400 家1400\text{ 家}. 为掌握各类超市的营业情况，现按分层抽样方法抽取一个容量为 100100 的样本，应抽取中型超市______ 家.

2011 · 湖北 · 文 · 第 11 题 · 填空题

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12计数原理与组合数学★★☆☆☆
(x−13x)18\left(x - \frac{1}{3\sqrt{x}}\right)^{18} 的展开式中含 x15x^{15} 的项的系数为______. （结果用数值表示）

2011 · 湖北 · 文 · 第 12 题 · 填空题

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13概率与统计★★☆☆☆
在 3030 瓶饮料中，有 33 瓶已过了保质期. 从这 3030 瓶饮料中任取 22 瓶，则至少取到 11 瓶已过保质期饮料的概率为______. （结果用最简分数表示）

2011 · 湖北 · 文 · 第 13 题 · 填空题

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14解析几何★★★☆☆
过点 (−1,−2)(-1, -2) 的直线 ll 被圆 x2+y2−2x−2y+1=0x^{2} + y^{2} - 2x - 2y + 1 = 0 截得的弦长为 2\sqrt{2}，则直线 ll 的斜率为______.

2011 · 湖北 · 文 · 第 14 题 · 填空题

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15指数函数与对数函数★☆☆☆☆
里氏震级 MM 的计算公式为： M=lg⁡A−lg⁡A0M = \lg A - \lg A_0. 其中 AA 是测震仪记录的地震曲线的最大振幅，A0A_0 是相应的标准地震的振幅. 假设在一次地震中，测震仪记录的最大振幅是 10001000，此时标准地震的振幅为 0.0010.001，则此次地震的震级为______级\text{级}；9 级9\text{ 级}地震的最大的振幅是5 级5\text{ 级}地震最大振幅的______倍\text{倍}.

2011 · 湖北 · 文 · 第 15 题 · 填空题

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16三角函数★★★☆☆
设 △ABC\triangle ABC 的内角 AA，BB，CC 所对的边分别为 aa，bb，cc. 已知 a=1a = 1，b=2b = 2，cos⁡C=14\cos C = \frac{1}{4}.
(1) 求 △ABC\triangle ABC 的周长； (2) 求 cos⁡(A−C)\cos(A-C) 的值.

2011 · 湖北 · 文 · 第 16 题 · 解答题

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17数列★★★☆☆
成等差数列的三个正数的和等于 1515，并且这三个数分别加上 22，55，1313 后成为等比数列 {bn}\{b_n\} 中的 b3b_3，b4b_4，b5b_5.
(1) 求数列 {bn}\{b_{n}\} 的通项公式； (2) 数列 {bn}\{b_{n}\} 的前 nn 项和为 SnS_{n}，求证：数列 {Sn+54}\left\{S_{n}+\frac{5}{4}\right\} 是等比数列.

2011 · 湖北 · 文 · 第 17 题 · 解答题

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18立体几何初步★★★★☆
如图，已知正三棱柱 ABC−A1B1C1ABC - A_{1}B_{1}C_{1} 的底面边长为 22，侧棱长为 323\sqrt{2}，点 EE 在侧棱 AA1AA_{1} 上，点 FF 在侧棱 BB1BB_{1} 上，且 AE=22AE = 2\sqrt{2}，BF=2BF = \sqrt{2}.
(1) 求证：CF⊥C1ECF \perp C_{1}E. (2) 求二面角 E−CF−C1E - CF - C_1 的大小.

2011 · 湖北 · 文 · 第 18 题 · 解答题

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19函数与初等函数★★★☆☆
提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况. 在一般情况下，大桥上的车流速度 vv（单位：千米/小时）是车流密度 xx（单位：辆/千米）的函数. 当桥上的车流密度达到 200 辆/千米200\text{ 辆/千米} 时，造成堵塞，此时车流速度为 00；当车流密度不超过 20 辆/千米20\text{ 辆/千米} 时，车流速度为 60 千米/小时60\text{ 千米/小时}. 研究表明：当 20⩽x⩽20020 \leqslant x \leqslant 200 时，车流速度 vv 是车流密度 xx 的一次函数.
(1) 当 0⩽x⩽2000 \leqslant x \leqslant 200 时，求函数 v(x)v(x) 的表达式； (2) 当车流密度 xx 为多大时，车流量（单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小时）f(x)=x⋅v(x)f(x) = x \cdot v(x) 可以达到最大，并求出最大值. （精确到 1 辆/小时1\text{ 辆/小时}）

2011 · 湖北 · 文 · 第 19 题 · 解答题

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20导数及其应用★★★★★
设函数 f(x)=x3+2ax2+bx+af(x) = x^{3} + 2ax^{2} + bx + a，g(x)=x2−3x+2g(x) = x^{2} - 3x + 2，其中 x∈Rx \in \mathbf{R}，aa，bb 为常数，已知曲线 y=f(x)y = f(x) 与 y=g(x)y = g(x) 在点 (2,0)(2,0) 处有相同的切线 ll.
(1) 求 aa，bb 的值，并写出切线 ll 的方程； (2) 若方程 f(x)+g(x)=mxf(x) + g(x) = mx 有三个互不相同的实根 00，x1x_1，x2x_2，其中 x1<x2x_1 < x_2，且对任意的 x∈[x1,x2]x \in [x_1, x_2]，f(x)+g(x)<m(x−1)f(x) + g(x) < m (x - 1) 恒成立，求实数 mm 的取值范围.

2011 · 湖北 · 文 · 第 20 题 · 解答题

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21解析几何★★★★★
平面内与两定点 A1(−a,0)A_{1}(-a,0)，A2(a,0)A_{2}(a,0)（a>0a > 0） 连线的斜率之积等于非零常数 mm 的点的轨迹，加上 A1A_{1}，A2A_{2} 两点所成的曲线 CC 可以是圆、椭圆或双曲线.
(1) 求曲线 CC 的方程，并讨论 CC 的形状与 mm 值的关系； (2) 当 m=−1m = -1 时，对应的曲线为 C1C_1；对给定的 m∈(−1,0)∪(0,+∞)m \in (-1,0) \cup (0,+\infty)，对应的曲线为 C2C_2. 设 F1F_1，F2F_2 是 C2C_2 的两个焦点. 试问：在 C1C_1 上，是否存在点 NN，使得 △F1NF2\triangle F_1NF_2 的面积 S=∣m∣a2S = |m|a^2？若存在，求 tan⁡∠F1NF2\tan \angle F_1NF_2 的值；若不存在，请说明理由.

2011 · 湖北 · 文 · 第 21 题 · 解答题

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