将两个顶点在抛物线 $y^{2} = 2px$（$p > 0$） 上，另一个顶点是此抛物线焦点的正三角形个数记为 $n$，则（ ）

过点 $(-1, -2)$ 的直线 $l$ 被圆 $x^{2} + y^{2} - 2x - 2y + 1 = 0$ 截得的弦长为 $\sqrt{2}$，则直线 $l$ 的斜率为______.

平面内与两定点 $A_{1}(-a,0)$，$A_{2}(a,0)$（$a > 0$） 连线的斜率之积等于非零常数 $m$ 的点的轨迹，加上 $A_{1}$，$A_{2}$ 两点所成的曲线 $C$ 可以是圆、椭圆或双曲线.

(1) 求曲线 $C$ 的方程，并讨论 $C$ 的形状与 $m$ 值的关系； (2) 当 $m = -1$ 时，对应的曲线为 $C_1$；对给定的 $m \in (-1,0) \cup (0,+\infty)$，对应的曲线为 $C_2$. 设 $F_1$，$F_2$ 是 $C_2$ 的两个焦点. 试问：在 $C_1$ 上，是否存在点 $N$，使得 $\triangle F_1NF_2$ 的面积 $S = |m|a^2$？若存在，求 $\tan \angle F_1NF_2$ 的值；若不存在，请说明理由.