已知双曲线 $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$（$a > 0$，$b > 0$）的一条渐近线方程是 $y = \sqrt{3} x$，它的一个焦点在抛物线 $y^2 = 24x$ 的准线上，则双曲线的方程为（ ）

\begin{answer} B \end{answer} \begin{solution} 双曲线的渐近线为 $y=\pm\dfrac ba x$，故 $\frac ba=\sqrt3$，$b^2=3a^2$. 抛物线 $y^2=24x=4\cdot6x$ 的准线为 $x=-6$，所以双曲线焦点到原点的距离满足 $c=6$. 又 从而 $a^2=9$，$b^2=27$. 因此双曲线方程为 选 B. \end{solution}

已知圆 $C$ 的圆心是直线 （$t$ 为参数）与 $x$ 轴的交点，且圆 $C$ 与直线 $x + y + 3 = 0$ 相切，则圆 $C$ 的方程为______. \begin{answer} $\left(x+1\right)^2+y^2=2$ \end{answer} \begin{solution} 圆心在 $x$ 轴上，所以由 $y=1+t=0$ 得 $t=-1$，圆心为 $(-1,0)$. 圆与直线 $x+y+3=0$ 相切，故半径为圆心到该直线的距离： 所以圆的方程为 \end{solution}

如图，四边形 $ABCD$ 是圆 $O$ 的内接四边形，延长 $AB$ 和 $DC$ 相交于点 $P$，若 $\frac{PB}{PA} = \frac{1}{2}$，$\frac{PC}{PD} = \frac{1}{3}$，则 $\frac{BC}{AD}$ 的值为______.

\begin{answer} $\frac{\sqrt{6}}{6}$ \end{answer} \begin{solution} 由圆内接四边形的割线定理， 设 $PA=1$，则 $PB=\dfrac12$，且由 $PC=\dfrac{PD}{3}$ 得 $\frac12=\frac{PD^2}{3}$，$PD=\sqrt{\frac32}$，$PC=\frac1{\sqrt6}$. 设 $\angle BPC=\angle APD=\theta$. 由余弦定理， 故 \end{solution}

已知椭圆 $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$（$a > b > 0$）的离心率 $e = \frac{\sqrt{3}}{2}$，连接椭圆的四个顶点得到的菱形面积为 4.

(1) 求椭圆的方程； (2) 设直线 $l$ 与椭圆相交于不同的两点 $A$，$B$. 已知点 $A$ 的坐标为 $(-a, 0)$，点 $Q(0, y_{0})$ 在线段 $AB$ 的垂直平分线上，且 $\overrightarrow{QA} \cdot \overrightarrow{QB} = 4$. 求 $y_{0}$ 的值.