设集合 $A = \{x \mid |x - a| < 1, x \in \mathbf{R}\}$，$B = \{x \mid |x - b| > 2, x \in \mathbf{R}\}$. 若 $A \subset B$，则实数 $a$，$b$ 必满足（ ）

\begin{answer} D \end{answer} \begin{solution} 由集合定义， $A=(a-1,a+1)$，$B=(-\infty,b-2)\cup(b+2,+\infty)$. 区间 $A$ 连通，若 $A\subset B$，则它必须完全落在 $B$ 的某一个分支内. 因而或者 得到 $b-a\ge3$；或者 得到 $a-b\ge3$. 综上 $|a-b|\ge3$，选 D. \end{solution}

设函数 $f(x) = x^2 - 1$，对任意 $x \in \left[\frac{3}{2}, +\infty\right)$，$f\left(\frac{x}{m}\right) - 4m^2f(x) \leqslant f(x - 1) + 4f(m)$ 恒成立，则实数 $m$ 的取值范围是______. \begin{answer} $\left(-\infty,-\frac{\sqrt{3}}{2}\right]\cup\left[\frac{\sqrt{3}}{2},+\infty\right)$ \end{answer} \begin{solution} 因题中含有 $f(\frac{x}{m})$，必须有 $m\ne0$. 将 $f(x)=x^2-1$ 代入不等式并移项，得 $Q_m(x):=\left(\frac1{m^2}-4m^2-1\right)x^2+2x+3\le0$，$x\ge\frac32$. 记 $A_m=\dfrac1{m^2}-4m^2-1$. 若 $A_m\ge0$，则 $Q_m(x)$ 在充分大的 $x$ 处为正，不可能恒成立. 设 $A_m<0$. 若二次函数顶点 $-\frac{1}{A_m}\ge\frac{3}{2}$，则其在定义区间内的最大值为 仍不可能恒成立. 所以顶点必须在区间左侧. 此时对 $x\ge\frac{3}{2}$ 有 $Q_m'(x)=2A_mx+2<0$，故 $Q_m$ 在该区间上递减，只需令端点处的最大值不大于零： $Q_m\left(\frac32\right)=\frac94A_m+6\le0$，$A_m\le-\frac83$. 于是 令 $t=m^2>0$，乘以正数 $3t$ 得 该二次式的根为 $-\dfrac13$，$\dfrac34$，故 $t\ge\dfrac34$，即 所以 $m$ 的取值范围为 \end{solution}