一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为______.

\begin{answer} $\frac{10}{3}$ \end{answer} \begin{solution} 由三视图可知，该几何体由一个底面边长为 $1$、高为 $2$ 的正方体柱和一个底面边长为 $2$、高为 $1$ 的四棱锥组成. 因而体积为 \end{solution}

如图，在长方体 $ABCD - A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$ 中，$E$，$F$ 分别是棱 $BC$，$CC_{1}$ 上的点，$CF = AB = 2CE$，$AB:AD:AA_{1} = 1:2:4$.

(1) 求异面直线 $EF$ 与 $A_{1}D$ 所成角的余弦值； (2) 证明 $AF \perp$ 平面 $A_{1}ED$； (3) 求二面角 $A_{1} - ED - F$ 的正弦值.