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15平面向量★★☆☆☆
如图，在 △ABC\triangle ABC 中，AD⊥ABAD \perp AB，BC→=3BD→\overrightarrow{BC} = \sqrt{3}\overrightarrow{BD}，∣AD→∣=1|\overrightarrow{AD}| = 1，则 AC→⋅AD→=\overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{AD} =______.
\begin{answer} 3\sqrt{3} \end{answer} \begin{solution} 由 D∈BCD\in BC，有
BD→=AD→−AB→\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AB}
因此
AC→=AB→+BC→=AB→+3BD→=(1−3)AB→+3AD→\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC} =\overrightarrow{AB}+\sqrt3\overrightarrow{BD} =(1-\sqrt3)\overrightarrow{AB}+\sqrt3\overrightarrow{AD}
又因 AD⊥ABAD\perp AB 且 ∣AD→∣=1|\overrightarrow{AD}|=1，所以
AC→⋅AD→=(1−3)AB→⋅AD→+3∣AD→∣2=3\overrightarrow{AC}\cdot\overrightarrow{AD} =(1-\sqrt3)\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AD} +\sqrt3\left|\overrightarrow{AD}\right|^2 =\sqrt3
\end{solution}

2010 · 天津 · 理 · 第 15 题 · 填空题

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