圆柱形容器内部盛有高度为 $8 \mathrm{~cm}$ 的水，若放入三个相同的球 （球半径与圆柱的底面半径相同） 后，水恰好淹没最上面的球 （如图所示）. 则球的半径是______ $\mathrm{cm}$.

设 $a > 0$，$b > 0$. 称 $\frac{2ab}{a + b}$ 为 $a$，$b$ 的调和平均数. 如图，$C$ 为线段 $AB$ 上的点，且 $AC = a$，$CB = b$，$O$ 为 $AB$ 中点，以 $AB$ 为直径做半圆. 过点 $C$ 作 $AB$ 的垂线交半圆于 $D$. 连接 $OD$，$AD$，$BD$. 过点 $C$ 作 $OD$ 的垂线，垂足为 $E$. 则图中线段 $OD$ 的长度是 $a$，$b$ 的算术平均数，线段______ 的长度是 $a$，$b$ 的几何平均数，线段______ 的长度是 $a$，$b$ 的调和平均数.

如图，在四面体 $ABOC$ 中，$OC \perp OA$，$OC \perp OB$，$\angle AOB = 120^{\circ}$，且 $OA = OB = OC = 1$.

(1) 设 $P$ 为 $AC$ 的中点，证明：在 $AB$ 上存在一点 $Q$，使 $PQ \perp OA$，并计算 $\frac{AB}{AQ}$ 的值； (2) 求二面角 $O - AC - B$ 的平面角的余弦值.