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01函数与初等函数★☆☆☆☆
函数 f(x)=1x−2f(x) = \frac{1}{x - 2} 的反函数为 f−1(x)=f^{-1}(x) =______.

2011 · 上海 · 理 · 第 1 题 · 填空题

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02集合与逻辑基础★☆☆☆☆
若全集 U=RU = \mathbf{R}，集合 A={x∣x⩾1}∪{x∣x⩽0}A = \{x \mid x \geqslant 1\} \cup \{x \mid x \leqslant 0\}，则 ∁UA=‾\complement_U A =\underline{\hspace{2em}}.

2011 · 上海 · 理 · 第 2 题 · 填空题

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03解析几何★☆☆☆☆
设 mm 为常数，若点 F(0,5)F(0,5) 是双曲线 y2m−x29=1\frac{y^2}{m} - \frac{x^2}{9} = 1 的一个焦点，则 m=‾m =\underline{\hspace{2em}}.

2011 · 上海 · 理 · 第 3 题 · 填空题

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04不等式★★☆☆☆
不等式 x+1x⩽3\frac{x + 1}{x} \leqslant 3 的解集为______.

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05解析几何★★☆☆☆
在极坐标系中，直线 ρ(2cos⁡θ+sin⁡θ)=2\rho(2\cos \theta + \sin \theta) = 2 与直线 ρcos⁡θ=1\rho\cos \theta = 1 的夹角大小为______. （结果用反三角函数值表示）

2011 · 上海 · 理 · 第 5 题 · 填空题

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06三角函数★★☆☆☆
在相距 2 千米的 AA，BB 两点处测量目标 CC，若 ∠CAB=75∘\angle CAB = 75^{\circ}，∠CBA=60∘\angle CBA = 60^{\circ}，则 AA，CC 两点之间的距离为______千米.

2011 · 上海 · 理 · 第 6 题 · 填空题

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07立体几何初步★★☆☆☆
若圆锥的侧面积为 2π2\pi，底面积为 π\pi，则该圆锥的体积为______.

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08三角函数★★★☆☆
函数 y=sin⁡(π2+x)cos⁡(π6−x)y = \sin \left(\frac{\pi}{2} + x\right) \cos \left(\frac{\pi}{6} - x\right) 的最大值为______.

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09概率与统计★★★☆☆
马老师从课本上抄录一个随机变量 ξ\xi 的概率分布列如下表：
请小牛同学计算 ξ\xi 的数学期望，尽管“!”处无法完全看清，且两个“?”处字迹模糊，但能肯定这两个“?”处的数值相同. 据此，小牛给出了正确答案 E(ξ)=E(\xi)=______.

2011 · 上海 · 理 · 第 9 题 · 填空题

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10不等式★★☆☆☆
行列式
∣abcd∣\begin{vmatrix}a & b\\ c & d \end{vmatrix}
（aa，bb，cc，d∈{−1,1,2}d\in \{-1,1,2\}）所有可能的值中，最大的是______.

2011 · 上海 · 理 · 第 10 题 · 填空题

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11平面向量★★☆☆☆
在正三角形 ABCABC 中，DD 是 BCBC 上的点. 若 AB=3AB = 3，BD=1BD = 1，则 AB→⋅AD→=\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AD} =______.

2011 · 上海 · 理 · 第 11 题 · 填空题

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12概率与统计★★★☆☆
随机抽取的 9 位同学中，至少有 2 位同学在同一月份出生的概率为______. （默认每个月的天数相同，结果精确到 0.001）

2011 · 上海 · 理 · 第 12 题 · 填空题

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13函数与初等函数★★★★☆
设 g(x)g(x) 是定义在 R\mathbf{R} 上，以 1 为周期的函数，若函数 f(x)=x+g(x)f(x) = x + g(x) 在区间 [3,4][3,4] 上的值域为 [−2,5][-2,5]，则 f(x)f(x) 在区间 [−10,10][-10,10] 上的值域为______.

2011 · 上海 · 理 · 第 13 题 · 填空题

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14函数与初等函数★★★★☆
已知点 O(0,0)O(0,0)，Q0(0,1)Q_0(0,1) 和点 R0(3,1)R_0(3,1)，记 Q0R0Q_0R_0 的中点为 P1P_1，取 Q0P1Q_0P_1 和 P1R0P_1R_0 中的一条，记其端点为 Q1Q_1，R1R_1，使之满足 (∣OQ1∣−2)(∣OR1∣−2)<0(|OQ_1| - 2)(|OR_1| - 2) < 0，记 Q1R1Q_1R_1 的中点为 P2P_2，取 Q1P2Q_1P_2 和 P2R1P_2R_1 中的一条，记其端点为 Q2Q_2，R2R_2，使之满足 (∣OQ2∣−2)(∣OR2∣−2)<0(|OQ_2| - 2)(|OR_2| - 2) < 0. 依次下去，得到 P1P_1，P2P_2，⋯\cdots，PnP_n，⋯\cdots，则 lim⁡n→∞∣Q0Pn∣=‾\lim\limits_{n \to \infty} \left|Q_0P_n\right| =\underline{\hspace{2em}}.

2011 · 上海 · 理 · 第 14 题 · 填空题

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15不等式★★☆☆☆
若 aa，b∈Rb \in \mathbf{R}，且 ab>0ab > 0，则下列不等式中，恒成立的是（ ）
A.
a2+b2>2aba^{2} + b^{2} > 2ab
B.
a+b⩾2aba + b \geqslant 2\sqrt{ab}
C.
1a+1b>2ab\frac{1}{a} + \frac{1}{b} > \frac{2}{\sqrt{ab}}
D.
ba+ab⩾2\frac{b}{a} + \frac{a}{b} \geqslant 2

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16函数与初等函数★★☆☆☆
下列函数中，既是偶函数，又是在区间 (0,+∞)(0,+\infty) 上单调递减的函数是（ ）
A.
y=ln⁡1∣x∣y = \ln \frac{1}{|x|}
B.
y=x3y = x^{3}
C.
y=2∣x∣y = 2^{|x|}
D.
y=cos⁡xy = \cos x

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17平面向量★★☆☆☆
设 A1A_1，A2A_2，A3A_3，A4A_4，A5A_5 是平面上给定的 5 个不同点，则使 MA1→+MA2→+MA3→+MA4→+MA5→=0\overrightarrow{MA_1} + \overrightarrow{MA_2} + \overrightarrow{MA_3} + \overrightarrow{MA_4} + \overrightarrow{MA_5} = \boldsymbol{0} 成立的点 MM 的个数为（ ）
A.
00
B.
11
C.
55
D.
1010

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18数列★★★★☆
设 {an}\{a_n\} 是各项为正数的无穷数列，AiA_i 是边长为 aia_i，ai+1a_{i+1} 的矩形面积 （i=1i = 1，22，⋯\cdots），则 {An}\{A_n\} 为等比数列的充要条件为（ ）
A.
{an}\{a_n\} 是等比数列
B.
{a1,a3,⋯ ,a2n−1,⋯ }\{a_1, a_3, \cdots, a_{2n-1}, \cdots\} 或 {a2,a4,⋯ ,a2n,⋯ }\{a_2, a_4, \cdots, a_{2n}, \cdots\} 是等比数列
C.
{a1,a3,⋯ ,a2n−1,⋯ }\{a_1, a_3, \cdots, a_{2n-1}, \cdots\} 和 {a2,a4,⋯ ,a2n,⋯ }\{a_2, a_4, \cdots, a_{2n}, \cdots\} 均是等比数列
D.
{a1,a3,⋯ ,a2n−1,⋯ }\{a_1, a_3, \cdots, a_{2n-1}, \cdots\} 和 {a2,a4,⋯ ,a2n,⋯ }\{a_2, a_4, \cdots, a_{2n}, \cdots\} 均是等比数列，且公比相同

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19复数★★☆☆☆
已知复数 z1z_1 满足 (z1−2)(1+i)=1−i(z_1 - 2)(1 + \mathrm{i}) = 1 - \mathrm{i}（i\mathrm{i} 为虚数单位），复数 z2z_2 的虚部为 2，且 z1⋅z2z_1 \cdot z_2 是实数，求 z2z_2.

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20指数函数与对数函数★★★☆☆
已知函数 f(x)=a⋅2x+b⋅3xf(x) = a \cdot 2^{x} + b \cdot 3^{x}，其中常数 aa，bb 满足 a⋅b≠0a \cdot b \neq 0.
(1) 若 a⋅b>0a \cdot b > 0，判断函数 f(x)f(x) 的单调性； (2) 若 a⋅b<0a \cdot b < 0，求 f(x+1)>f(x)f(x+1) > f(x) 时的 xx 的取值范围.

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21立体几何初步★★★★☆
已知 ABCD−A1B1C1D1ABCD - A_{1}B_{1}C_{1}D_{1} 是底面边长为 1 的正四棱柱，O1O_1 为 A1C1A_1C_1 与 B1D1B_1D_1 的交点.
(1) 设 AB1AB_1 与底面 A1B1C1D1A_1B_1C_1D_1 所成角的大小为 α\alpha，二面角 A−B1D1−A1A - B_{1}D_{1} - A_1 的大小为 β\beta. 求证：tan⁡β=2tan⁡α\tan \beta = \sqrt{2}\tan \alpha； (2) 若点 CC 到平面 AB1D1AB_1D_1 的距离为 43\frac{4}{3}，求正四棱柱 ABCD−A1B1C1D1ABCD - A_{1}B_{1}C_{1}D_{1} 的高.

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22数列★★★★☆
已知数列 {an}\{a_n\} 和 {bn}\{b_n\} 的通项公式分别为 an=3n+6a_n = 3n + 6，bn=2n+7b_n = 2n + 7 （n∈N∗n \in \mathbf{N}^{*}），将集合 {x∣x=an,n∈N∗}∪{x∣x=bn,n∈N∗}\{x \mid x = a_n, n \in \mathbf{N}^{*}\} \cup \{x \mid x = b_n, n \in \mathbf{N}^{*}\} 中的元素从小到大依次排列，构成数列 c1c_1，c2c_2，c3c_3，c4c_4，⋯\cdots，cnc_n，⋯\cdots.
(1) 求 c1c_1，c2c_2，c3c_3，c4c_4； (2) 求证：在数列 {an}\{a_n\} 中，但不在数列 {bn}\{b_n\} 中的项恰为 a2a_2，a4a_4，⋯\cdots，a2na_{2n}，⋯\cdots； (3) 求数列 {cn}\{c_n\} 的通项公式.

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23解析几何★★★★☆
已知平面上的线段 ll 及点 PP，在 ll 上任取一点 QQ，线段 PQPQ 长度的最小值称为点 PP 到线段 ll 的距离，记作 d(P,l)d(P, l).
(1) 求点 P(1,1)P(1,1) 到线段 l:x−y−3=0l: x - y - 3 = 0（3⩽x⩽53 \leqslant x \leqslant 5）的距离 d(P,l)d(P, l)； (2) 设 ll 是长为 2 的线段，求点的集合 D={P∣d(P,l)⩽1}D = \{P \mid d(P, l) \leqslant 1\} 所表示的图形面积； (3) 写出到两条线段 l1l_1，l2l_2 距离相等的点的集合 Ω={P∣d(P,l1)=d(P,l2)}\Omega = \{P \mid d(P, l_1) = d(P, l_2)\}，其中 l1=ABl_1 = AB，l2=CDl_2 = CD，AA，BB，CC，DD 是下列三组点中的一组.
① A(1,3)A(1,3)，B(1,0)B(1,0)，C(−1,3)C(-1,3)，D(−1,0)D(-1,0). ② A(1,3)A(1,3)，B(1,0)B(1,0)，C(−1,3)C(-1,3)，D(−1,−2)D(-1,-2). ③ A(0,1)A(0,1)，B(0,0)B(0,0)，C(0,0)C(0,0)，D(2,0)D(2,0).

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