已知点 $O(0,0)$，$Q_0(0,1)$ 和点 $R_0(3,1)$，记 $Q_0R_0$ 的中点为 $P_1$，取 $Q_0P_1$ 和 $P_1R_0$ 中的一条，记其端点为 $Q_1$，$R_1$，使之满足 $(|OQ_1| - 2)(|OR_1| - 2) < 0$，记 $Q_1R_1$ 的中点为 $P_2$，取 $Q_1P_2$ 和 $P_2R_1$ 中的一条，记其端点为 $Q_2$，$R_2$，使之满足 $(|OQ_2| - 2)(|OR_2| - 2) < 0$. 依次下去，得到 $P_1$，$P_2$，$\cdots$，$P_n$，$\cdots$，则 $\lim\limits_{n \to \infty} \left|Q_0P_n\right| =\underline{\hspace{2em}}$.

设 $\{a_n\}$ 是各项为正数的无穷数列，$A_i$ 是边长为 $a_i$，$a_{i+1}$ 的矩形面积 （$i = 1$，$2$，$\cdots$），则 $\{A_n\}$ 为等比数列的充要条件为（ ）

已知数列 $\{a_n\}$ 和 $\{b_n\}$ 的通项公式分别为 $a_n = 3n + 6$，$b_n = 2n + 7$ （$n \in \mathbf{N}^{*}$），将集合 $\{x \mid x = a_n, n \in \mathbf{N}^{*}\} \cup \{x \mid x = b_n, n \in \mathbf{N}^{*}\}$ 中的元素从小到大依次排列，构成数列 $c_1$，$c_2$，$c_3$，$c_4$，$\cdots$，$c_n$，$\cdots$.

(1) 求 $c_1$，$c_2$，$c_3$，$c_4$； (2) 求证：在数列 $\{a_n\}$ 中，但不在数列 $\{b_n\}$ 中的项恰为 $a_2$，$a_4$，$\cdots$，$a_{2n}$，$\cdots$； (3) 求数列 $\{c_n\}$ 的通项公式.