若圆锥的侧面积为 $2\pi$，底面积为 $\pi$，则该圆锥的体积为______.

已知 $ABCD - A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$ 是底面边长为 1 的正四棱柱，$O_1$ 为 $A_1C_1$ 与 $B_1D_1$ 的交点.

(1) 设 $AB_1$ 与底面 $A_1B_1C_1D_1$ 所成角的大小为 $\alpha$，二面角 $A - B_{1}D_{1} - A_1$ 的大小为 $\beta$. 求证：$\tan \beta = \sqrt{2}\tan \alpha$； (2) 若点 $C$ 到平面 $AB_1D_1$ 的距离为 $\frac{4}{3}$，求正四棱柱 $ABCD - A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$ 的高.