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01三角函数★☆☆☆☆
函数 y=1−2cos⁡2(2x)y = 1 - 2\cos^2(2x) 的最小正周期是______.

2014 · 上海 · 理 · 第 1 题 · 填空题

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02复数★★☆☆☆
若复数 z=1+2iz = 1 + 2\mathrm{i}，其中 i\mathrm{i} 是虚数单位，则 (z+1z‾)⋅z‾=\left(z + \frac{1}{\overline{z}}\right) \cdot \overline{z} =______.

2014 · 上海 · 理 · 第 2 题 · 填空题

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03解析几何★★☆☆☆
若抛物线 y2=2pxy^{2}=2px 的焦点与椭圆 x29+y25=1\frac{x^{2}}{9}+\frac{y^{2}}{5}=1 的右焦点重合，则该抛物线的准线方程为______.

2014 · 上海 · 理 · 第 3 题 · 填空题

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04函数与初等函数★☆☆☆☆
设
f(x)={x,x∈(−∞,a),x2,x∈[a,+∞),f(x) = \begin{cases} x, & x \in (-\infty, a),\\ x^2, & x \in [a, +\infty), \end{cases}
若 f(2)=4f(2) = 4，则 aa 的取值范围为______.

2014 · 上海 · 理 · 第 4 题 · 填空题

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05不等式★★☆☆☆
若实数 xx，yy 满足 xy=1xy = 1，则 x2+2y2x^2 + 2y^2 的最小值为______.

2014 · 上海 · 理 · 第 5 题 · 填空题

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06立体几何初步★★☆☆☆
若圆锥的侧面积是底面积的 3 倍3\text{ 倍}，则其母线与底面夹角的大小为______.（结果用反三角函数值表示）

2014 · 上海 · 理 · 第 6 题 · 填空题

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07解析几何★★☆☆☆
已知曲线 CC 的极坐标方程为 ρ(3cos⁡θ−4sin⁡θ)=1\rho(3\cos\theta-4\sin\theta)=1，则 CC 与极轴的交点到极点的距离是______.

2014 · 上海 · 理 · 第 7 题 · 填空题

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08数列★★★☆☆
设无穷等比数列 {an}\{a_{n}\} 的公比为 qq，若 a1=lim⁡n→∞(a3+a4+⋯+an)a_{1} = \displaystyle\lim_{n\to \infty}(a_{3} + a_{4} + \dots + a_{n})，则 q=q =______.

2014 · 上海 · 理 · 第 8 题 · 填空题

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09函数与初等函数★★☆☆☆
若 f(x)=x23−x−12f(x) = x^{\frac{2}{3}} - x^{-\frac{1}{2}}，则满足 f(x)<0f(x) < 0 的 xx 的取值范围是______.

2014 · 上海 · 理 · 第 9 题 · 填空题

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10概率与统计★★☆☆☆
为强化安全意识，某商场拟在未来的连续 10 天10\text{ 天} 中随机选择 3 天3\text{ 天} 进行紧急疏散演练. 则选择的 3 天3\text{ 天} 恰好为连续 3 天3\text{ 天} 的概率是______.（结果用最简分数表示）

2014 · 上海 · 理 · 第 10 题 · 填空题

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11复数★★★☆☆
已知互异的复数 aa，bb 满足 ab≠0ab \neq 0，集合 {a,b}={a2,b2}\{a, b\} = \{a^2, b^2\}，则 a+b=a + b =______.

2014 · 上海 · 理 · 第 11 题 · 填空题

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12三角函数★★★★☆
设常数 aa 使方程 sin⁡x+3cos⁡x=a\sin x + \sqrt{3}\cos x = a 在区间 [0,2π][0, 2\pi] 上恰有三个解 x1x_1，x2x_2，x3x_3，则 x1+x2+x3=‾x_1 + x_2 + x_3 =\underline{\hspace{2em}}.

2014 · 上海 · 理 · 第 12 题 · 填空题

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13概率与统计★★★☆☆
某游戏的得分为 11，22，33，44，55，随机变量 ξ\xi 表示小白玩该游戏的得分. 若 E(ξ)=4.2E(\xi) = 4.2，则小白得 5 分5\text{ 分} 的概率至少为______.

2014 · 上海 · 理 · 第 13 题 · 填空题

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14平面向量★★★☆☆
已知曲线 C:x=−4−y2C: x = -\sqrt{4 - y^2}，直线 l:x=6l: x = 6. 若对于点 A(m,0)A(m,0)，存在 CC 上的点 PP 和 ll 上的 QQ 使得 AP→+AQ→=0→\overrightarrow{AP} + \overrightarrow{AQ} = \overrightarrow{0}，则 mm 的取值范围为______.

2014 · 上海 · 理 · 第 14 题 · 填空题

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15集合与逻辑基础★★☆☆☆
设 aa，b∈Rb \in \mathbf{R}，则“a+b>4a + b > 4”是“a>2a > 2 且 b>2b > 2”的（ ）
A.
充分非必要条件
B.
必要非充分条件
C.
充要条件
D.
既不充分也不必要条件

2014 · 上海 · 理 · 第 15 题 · 选择题

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16平面向量★★☆☆☆
如图，44 个棱长为 11 的正方体排成一个正四棱柱，ABAB 是一条侧棱，PiP_{i} （i=1i=1，22，⋯\cdots，88） 是上底面上其余的八个点，则 AB→⋅APi→\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AP_{i}} （i=1i=1，22，⋯\cdots，88） 的不同值的个数为（ ）
A.
1
B.
2
C.
4
D.
8

2014 · 上海 · 理 · 第 16 题 · 选择题

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17解析几何★★★☆☆
已知 P1(a1,b1)P_{1}(a_{1}, b_{1}) 与 P2(a2,b2)P_{2}(a_{2}, b_{2}) 是直线 y=kx+1y = kx + 1（kk 为常数）上两个不同的点，则关于 xx 和 yy 的方程组
{a1x+b1y=1,a2x+b2y=1\begin{cases} a_{1}x + b_{1}y = 1,\\ a_{2}x + b_{2}y = 1 \end{cases}
的解的情况是（ ）
A.
无论 k,P1,P2k, P_{1}, P_{2} 如何，总是无解
B.
无论 kk，P1P_{1}，P2P_{2} 如何，总有唯一解
C.
存在 kk，P1P_{1}，P2P_{2}，使之恰有两解
D.
存在 kk，P1P_{1}，P2P_{2}，使之有无穷多解

2014 · 上海 · 理 · 第 17 题 · 选择题

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18函数与初等函数★★★☆☆
设
f(x)={(x−a)2,x⩽0,x+1x+a,x>0,f(x) = \begin{cases} (x - a)^2, & x \leqslant 0,\\ x + \frac{1}{x} + a, & x > 0, \end{cases}
若 f(0)f(0) 是 f(x)f(x) 的最小值，则 aa 的取值范围为（ ）
A.
[−1,2][-1, 2]
B.
[−1,0][-1,0]
C.
[1,2][1, 2]
D.
[0,2][0,2]

2014 · 上海 · 理 · 第 18 题 · 选择题

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19立体几何初步★★★☆☆
底面边长为 22 的正三棱锥 P−ABCP-ABC，其表面展开图是三角形 P1P2P3P_{1}P_{2}P_{3}，如图，求 △P1P2P3\triangle P_{1}P_{2}P_{3} 的各边长及此三棱锥的体积 VV.

2014 · 上海 · 理 · 第 19 题 · 解答题

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20函数与初等函数★★★☆☆
设常数 a⩾0a \geqslant 0，函数 f(x)=2x+a2x−af(x) = \frac{2^x + a}{2^x - a}.
(1) 若 a=4a = 4，求函数 y=f(x)y = f(x) 的反函数 y=f−1(x)y = f^{-1}(x)； (2) 根据 aa 的不同取值，讨论函数 y=f(x)y = f(x) 的奇偶性，并说明理由.

2014 · 上海 · 理 · 第 20 题 · 解答题

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21三角函数★★★★☆
如图，某公司要在 AA，BB 两地连线上的定点 CC 处建造广告牌 CDCD，其中 DD 为顶端，ACAC 长 35 米35\text{ 米}，CBCB 长 80 米80\text{ 米}. 设点 AA，BB 在同一水平面上，从 AA 和 BB 看 DD 的仰角分别为 α\alpha 和 β\beta.
(1) 设计中 CDCD 是铅垂方向. 若要求 α⩾2β\alpha \geqslant 2\beta，问 CDCD 的长至多为多少（结果精确到 0.01 米）？ (2) 施工完成后，CDCD 与铅垂方向有偏差. 现在实测得 α=38.12∘\alpha = 38.12^{\circ}，β=18.45∘\beta = 18.45^{\circ}，求 CDCD 的长（结果精确到 0.01 米）.

2014 · 上海 · 理 · 第 21 题 · 解答题

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22解析几何★★★★★
在平面直角坐标系 xOyxOy 中，对于直线 l:ax+by+c=0l: ax + by + c = 0 和点 P1(x1,y1)P_{1}(x_{1}, y_{1})，P2(x2,y2)P_{2}(x_{2}, y_{2})，记 η=(ax1+by1+c)(ax2+by2+c)\eta = (ax_{1} + by_{1} + c)(ax_{2} + by_{2} + c). 若 η<0\eta < 0，则称点 P1P_{1}，P2P_{2} 被直线 ll 分隔. 若曲线 CC 与直线 ll 没有公共点，且曲线 CC 上存在点 P1P_{1}，P2P_{2} 被直线 ll 分隔，则称直线 ll 为曲线 CC 的一条分隔线.
(1) 求证：点 A(1,2)A(1,2)，B(−1,0)B(-1,0) 被直线 x+y−1=0x + y - 1 = 0 分隔； (2) 若直线 y=kxy = kx 是曲线 x2−4y2=1x^2 - 4y^2 = 1 的分隔线，求实数 kk 的取值范围； (3) 动点 MM 到点 Q(0,2)Q(0,2) 的距离与到 yy 轴的距离之积为 1，设点 MM 的轨迹为 EE，求证：通过原点的直线中，有且仅有一条直线是 EE 的分隔线.

2014 · 上海 · 理 · 第 22 题 · 解答题

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23数列★★★★★
已知数列 {an}\{a_{n}\} 满足 13an⩽an+1⩽3an\frac{1}{3} a_{n} \leqslant a_{n+1} \leqslant 3a_{n}，n∈N∗n \in \mathbf{N}^{*}，a1=1a_{1} = 1.
(1) 若 a2=2a_{2} = 2，a3=xa_{3} = x，a4=9a_{4} = 9，求 xx 的取值范围； (2) 设 {an}\{a_{n}\} 是公比为 qq 的等比数列，Sn=a1+a2+⋯+anS_{n} = a_{1} + a_{2} + \dots + a_{n}. 若 13Sn⩽Sn+1⩽3Sn\frac{1}{3} S_{n} \leqslant S_{n+1} \leqslant 3S_{n}，n∈N∗n \in \mathbf{N}^{*}，求 qq 的取值范围； (3) 若 a1a_{1}，a2a_{2}，⋯\cdots，aka_{k} 成等差数列，且 a1+a2+⋯+ak=1000a_{1} + a_{2} + \cdots + a_{k} = 1000，求正整数 kk 的最大值，以及 kk 取最大值时相应数列 a1a_{1}，a2a_{2}，⋯\cdots，aka_{k} 的公差.

2014 · 上海 · 理 · 第 23 题 · 解答题

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