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03
指数函数与对数函数
★☆☆☆☆
设
a
a
a
，
b
b
b
，
c
c
c
均为不等于 1 的正实数，则下列等式中恒成立的是（ ）
A.
log
a
b
⋅
log
c
b
=
log
c
a
\log_a b \cdot \log_c b = \log_c a
lo
g
a
b
⋅
lo
g
c
b
=
lo
g
c
a
B.
log
a
b
⋅
log
c
a
=
log
c
b
\log_a b \cdot \log_c a = \log_c b
lo
g
a
b
⋅
lo
g
c
a
=
lo
g
c
b
C.
log
a
(
b
c
)
=
log
a
b
⋅
log
a
c
\log_a (bc) = \log_a b \cdot \log_a c
lo
g
a
(
b
c
)
=
lo
g
a
b
⋅
lo
g
a
c
D.
log
a
(
b
+
c
)
=
log
a
b
+
log
a
c
\log_a(b + c) = \log_a b + \log_a c
lo
g
a
(
b
+
c
)
=
lo
g
a
b
+
lo
g
a
c
2013 · 陕西 · 文 · 第 3 题 · 选择题
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23
导数及其应用
★★★★☆
已知函数
f
(
x
)
=
e
x
f(x) = \mathrm{e}^{x}
f
(
x
)
=
e
x
，
x
∈
R
x \in \mathbf{R}
x
∈
R
.
(1) 求
f
(
x
)
f(x)
f
(
x
)
的反函数的图象上点
(
1
,
0
)
(1,0)
(
1
,
0
)
处的切线方程. (2) 证明：曲线
y
=
f
(
x
)
y = f(x)
y
=
f
(
x
)
与曲线
y
=
1
2
x
2
+
x
+
1
y = \frac{1}{2} x^2 + x + 1
y
=
2
1
x
2
+
x
+
1
有唯一公共点. (3) 设
a
<
b
a < b
a
<
b
，比较
f
(
a
+
b
2
)
f\left(\frac{a + b}{2}\right)
f
(
2
a
+
b
)
与
f
(
b
)
−
f
(
a
)
b
−
a
\frac{f(b) - f(a)}{b - a}
b
−
a
f
(
b
)
−
f
(
a
)
的大小，并说明理由.
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