一位国王的铸币大臣在每箱 100 枚的硬币中各掺入了一枚劣币，国王怀疑大臣作弊，他用两种方法来检测. 方法一：在 10 箱中各任意抽查一枚；方法二：在 5 箱中各任意抽查两枚. 国王用方法一，二能发现至少一枚劣币的概率分别记为 $p_1$ 和 $p_2$. 则（ ）

某迷宫有三个通道，进入迷宫的每个人都要经过一扇智能门. 首次到达此门，系统会随机（即等可能）为你打开一个通道. 若是 1 号通道，则需要 1 小时走出迷宫；若是 2 号、3 号通道，则分别需要 2 小时，3 小时返回智能门. 再次到达智能门时，系统会随机打开一个你未到过的通道，直至走出迷宫为止. 令 $\xi$ 表示走出迷宫所需的时间.

(1) 求 $\xi$ 的分布列； (2) 求 $\xi$ 的数学期望.