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04
数列
★☆☆☆☆
lim
n
→
∞
(
1
+
1
3
+
1
3
2
+
⋯
+
1
3
n
)
=
\displaystyle \lim\limits_{n\to\infty}\left(1 + \frac{1}{3} + \frac{1}{3^2} + \cdots + \frac{1}{3^n}\right) =
n
→
∞
lim
(
1
+
3
1
+
3
2
1
+
⋯
+
3
n
1
)
=
（ ）
A.
5
3
\frac{5}{3}
3
5
B.
3
2
\frac{3}{2}
2
3
C.
2
2
2
D.
不存在
2010 · 江西 · 理 · 第 4 题 · 选择题
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05
数列
★★★☆☆
等比数列
{
a
n
}
\{a_n\}
{
a
n
}
中，
a
1
=
2
a_1 = 2
a
1
=
2
，
a
8
=
4
a_8 = 4
a
8
=
4
，函数
f
(
x
)
=
x
(
x
−
a
1
)
(
x
−
a
2
)
⋯
(
x
−
a
8
)
f(x) = x(x-a_1)(x-a_2)\cdots(x-a_8)
f
(
x
)
=
x
(
x
−
a
1
)
(
x
−
a
2
)
⋯
(
x
−
a
8
)
，则
f
′
(
0
)
=
f'(0) =
f
′
(
0
)
=
（ ）
A.
2
6
2^6
2
6
B.
2
9
2^9
2
9
C.
2
12
2^{12}
2
12
D.
2
15
2^{15}
2
15
2010 · 江西 · 理 · 第 5 题 · 选择题
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22
数列
★★★★★
证明以下命题：
(1) 对任一正整数
a
a
a
，都存在正整数
b
b
b
，
c
c
c
（
b
<
c
b<c
b
<
c
），使得
a
2
a^{2}
a
2
，
b
2
b^{2}
b
2
，
c
2
c^{2}
c
2
成等差数列； (2) 存在无穷多个互不相似的三角形
Δ
n
\Delta_{n}
Δ
n
，其边长
a
n
a_{n}
a
n
，
b
n
b_{n}
b
n
，
c
n
c_{n}
c
n
为正整数且
a
n
2
a_{n}^{2}
a
n
2
，
b
n
2
b_{n}^{2}
b
n
2
，
c
n
2
c_{n}^{2}
c
n
2
成等差数列.
2010 · 江西 · 理 · 第 22 题 · 解答题
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