已知函数 $f(x) = (1 + \cot x)\sin^{2} x + m\sin\left(x + \frac{\pi}{4}\right)\sin\left(x - \frac{\pi}{4}\right)$.

(1) 当 $m = 0$ 时，求 $f(x)$ 在区间 $\left[\frac{\pi}{8}, \frac{3\pi}{4}\right]$ 上的取值范围； (2) 当 $\tan \alpha = 2$ 时，$f(\alpha) = \frac{3}{5}$，求 $m$ 的值.