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01复数★☆☆☆☆
已知复数 z‾=1+2i\overline{z} = 1 + 2\mathrm{i}（i\mathrm{i}为虚数单位），则 zz 在复平面内对应的点位于（ ）
A.
第一象限
B.
第二象限
C.
第三象限
D.
第四象限

2013 · 福建 · 理 · 第 1 题 · 选择题

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02集合与逻辑基础★★☆☆☆
已知集合 A={1,a}A = \{1, a\}，B={1,2,3}B = \{1, 2, 3\}，则“a=3a = 3”是“A⊆BA \subseteq B”的（ ）
A.
充分而不必要条件
B.
必要而不充分条件
C.
充分必要条件
D.
既不充分也不必要条件

2013 · 福建 · 理 · 第 2 题 · 选择题

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03解析几何★★☆☆☆
双曲线 x24−y2=1\frac{x^{2}}{4} - y^{2} = 1 的顶点到渐近线的距离等于（ ）
A.
25\frac{2}{5}
B.
45\frac{4}{5}
C.
255\frac{2\sqrt{5}}{5}
D.
455\frac{4\sqrt{5}}{5}

2013 · 福建 · 理 · 第 3 题 · 选择题

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04概率与统计★☆☆☆☆
某校从高一年级学生中随机抽取部分学生，将他们的模块测试成绩分成 66 组：[40,50)[40,50)，[50,60)[50,60)，[60,70)[60,70)，[70,80)[70,80)，[80,90)[80,90)，[90,100)[90,100) 加以统计，得到如图所示的频率分布直方图. 已知高一年级共有学生 600600 名，据此估计，该模块测试成绩不少于 6060 分的学生人数为（ ）
A.
588
B.
480
C.
450
D.
120

2013 · 福建 · 理 · 第 4 题 · 选择题

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05计数原理与组合数学★★★☆☆
满足 aa，b∈{−1,0,1,2}b \in \{-1, 0, 1, 2\}，且关于 xx 的方程 ax2+2x+b=0ax^{2} + 2x + b = 0 有实数解的有序数对 (a,b)(a, b) 的个数为（ ）
A.
14
B.
13
C.
12
D.
10

2013 · 福建 · 理 · 第 5 题 · 选择题

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06数列★★☆☆☆
阅读如图所示的程序框图，若输入的 k=10k = 10，则该算法的功能是（ ）
A.
计算数列 {2n−1}\{2^{n-1}\} 的前 1010 项和
B.
计算数列 {2n−1}\{2^{n-1}\} 的前 99 项和
C.
计算数列 {2n−1}\{2^{n}-1\} 的前 1010 项和
D.
计算数列 {2n−1}\{2^{n}-1\} 的前 99 项和

2013 · 福建 · 理 · 第 6 题 · 选择题

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07平面向量★★☆☆☆
在四边形 ABCDABCD 中，AC→=(1,2)\overrightarrow{AC} = (1, 2)，BD→=(−4,2)\overrightarrow{BD} = (-4, 2)，则该四边形的面积为（ ）
A.
5\sqrt{5}
B.
252\sqrt{5}
C.
5
D.
10

2013 · 福建 · 理 · 第 7 题 · 选择题

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08导数及其应用★★★☆☆
设函数 f(x)f(x) 的定义域为 R\mathbf{R}，x0x_0（x0≠0x_0 \neq 0）是 f(x)f(x) 的极大值点，以下结论一定正确的是（ ）
A.
∀x∈R,f(x)⩽f(x0)\forall x \in \mathbf{R}, f(x) \leqslant f(x_0)
B.
−x0-x_0 是 f(−x)f(-x) 的极小值点
C.
−x0-x_0 是 −f(x)-f(x) 的极小值点
D.
−x0-x_0 是 −f(−x)-f(-x) 的极小值点

2013 · 福建 · 理 · 第 8 题 · 选择题

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09数列★★★☆☆
已知等比数列 {an}\{a_n\} 的公比为 qq，记 bn=am(n−1)+1+am(n−1)+2+⋯+am(n−1)+mb_n = a_{m(n-1)+1} + a_{m(n-1)+2} + \cdots + a_{m(n-1)+m}，cn=am(n−1)+1⋅am(n−1)+2⋅⋯⋅am(n−1)+mc_n = a_{m(n-1)+1} \cdot a_{m(n-1)+2} \cdot \cdots \cdot a_{m(n-1)+m} （mm，n∈N∗n \in \mathbf{N}^{*}），则以下结论一定正确的是（ ）
A.
数列 {bn}\{b_n\} 为等差数列，公差为 qmq^{m}
B.
数列 {bn}\{b_n\} 为等比数列，公比为 q2mq^{2m}
C.
数列 {cn}\{c_n\} 为等比数列，公比为 qm2q^{m^{2}}
D.
数列 {cn}\{c_n\} 为等比数列，公比为 qmmq^{m^{m}}

2013 · 福建 · 理 · 第 9 题 · 选择题

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10函数与初等函数★★★★★
设 SS，TT 是 R\mathbf{R} 的两个非空子集，如果存在一个从 SS 到 TT 的函数 y=f(x)y = f(x) 满足：
① T={f(x)∣x∈S}T = \{f(x) \mid x \in S\}； ② 对任意 x1x_1，x2∈Sx_2 \in S，当 x1<x2x_1 < x_2 时，恒有 f(x1)<f(x2)f(x_1) < f(x_2).
那么称这两个集合“保序同构”，以下集合对不是“保序同构”的是（ ）
A.
A=N∗, B=NA = \mathbf{N}^{*},\ B = \mathbf{N}
B.
A={x∣−1⩽x⩽3}A = \{x \mid -1 \leqslant x \leqslant 3\}， B={x∣x=−8 或 0<x⩽10}\ B = \{x \mid x = -8 \text{\ 或\ } 0 < x \leqslant 10\}
C.
A={x∣0<x<1}A = \{x \mid 0 < x < 1\}， B=R\ B = \mathbf{R}
D.
A=ZA = \mathbf{Z}， B=Q\ B = \mathbb{Q}

2013 · 福建 · 理 · 第 10 题 · 选择题

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11概率与统计★☆☆☆☆
利用计算机产生 0∼10 \sim 1 之间的均匀随机数 aa，则事件“3a−1>03a - 1 > 0”发生的概率为______.

2013 · 福建 · 理 · 第 11 题 · 填空题

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12立体几何初步★★★☆☆
已知某一多面体内接于球构成一个简单组合体，如果该组合体的正视图，侧视图，俯视图均如图所示，且图中的四边形是边长为 22 的正方形，则该球的表面积是______.

2013 · 福建 · 理 · 第 12 题 · 填空题

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13三角函数★★★☆☆
如图，在 △ABC\triangle ABC 中，已知点 DD 在 BCBC 边上，AD⊥ACAD \perp AC，sin⁡∠BAC=223\sin \angle BAC = \frac{2\sqrt{2}}{3}，AB=32AB = 3\sqrt{2}，AD=3AD = 3，则 BDBD 的长为______.

2013 · 福建 · 理 · 第 13 题 · 填空题

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14解析几何★★★☆☆
椭圆 Γ:x2a2+y2b2=1\Gamma : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1（a>b>0a > b > 0）的左右焦点分别为 F1F_1，F2F_2，焦距为 2c2c，若直线 y=3(x+c)y = \sqrt{3}(x + c) 与椭圆 Γ\Gamma 的一个交点 MM 满足 ∠MF1F2=2∠MF2F1\angle MF_1F_2 = 2 \angle MF_2F_1，则该椭圆的离心率等于______.

2013 · 福建 · 理 · 第 14 题 · 填空题

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15计数原理与组合数学★★★★☆
当 x∈Rx \in \mathbf{R}，∣x∣<1|x| < 1 时，有如下表达式： 1+x+x2+⋯+xn+⋯=11−x1 + x + x^{2} + \cdots + x^{n} + \cdots = \frac{1}{1-x}. 两边同时积分得： ∫0121 dx+∫012x dx+∫012x2 dx+⋯+∫012xn dx+⋯=∫01211−x dx\int_{0}^{\frac{1}{2}} 1\,\text{d}x + \int_{0}^{\frac{1}{2}} x\,\text{d}x + \int_{0}^{\frac{1}{2}} x^{2}\,\text{d}x + \cdots + \int_{0}^{\frac{1}{2}} x^{n}\,\text{d}x + \cdots = \int_{0}^{\frac{1}{2}} \frac{1}{1-x}\,\text{d}x， 从而得到如下等式： 1×12+12×(12)2+13×(12)3+⋯+1n+1×(12)n+1+⋯=ln⁡21 \times \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \times \left(\frac{1}{2}\right)^{2} + \frac{1}{3} \times \left(\frac{1}{2}\right)^{3} + \cdots + \frac{1}{n+1} \times \left(\frac{1}{2}\right)^{n+1} + \cdots = \ln 2. 请根据以上材料所蕴含的数学思想方法，计算： Cn0×12+12Cn1×(12)2+13Cn2×(12)3+⋯+1n+1Cnn×(12)n+1=‾\mathrm C_{n}^{0} \times \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \mathrm C_{n}^{1} \times \left(\frac{1}{2}\right)^{2} + \frac{1}{3} \mathrm C_{n}^{2} \times \left(\frac{1}{2}\right)^{3} + \cdots + \frac{1}{n+1} \mathrm C_{n}^{n} \times \left(\frac{1}{2}\right)^{n+1} =\underline{\hspace{2em}}.

2013 · 福建 · 理 · 第 15 题 · 填空题

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16概率与统计★★★☆☆
某联欢晚会举行抽奖活动，举办方设置了甲，乙两种抽奖方案，方案甲的中奖率为 23\frac{2}{3}，中奖可以获得 22 分；方案乙的中奖率为 25\frac{2}{5}，中奖可以获得 33 分；未中奖则不得分. 每人有且只有一次抽奖机会，每次抽奖中奖与否互不影响，晚会结束后凭分数兑换奖品.
(1) 若小明选择方案甲抽奖，小红选择方案乙抽奖，记他们的累计得分为 XX，求 X⩽3X \leqslant 3 的概率； (2) 若小明，小红两人都选择方案甲或都选择方案乙进行抽奖，问：他们选择何种方案抽奖，累计得分的数学期望较大？

2013 · 福建 · 理 · 第 16 题 · 解答题

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17导数及其应用★★★☆☆
已知函数 f(x)=x−aln⁡xf(x) = x - a \ln x（a∈Ra \in \mathbf{R}）.
(1) 当 a=2a = 2 时，求曲线 y=f(x)y = f(x) 在点 A(1,f(1))A(1, f(1)) 处的切线方程； (2) 求函数 f(x)f(x) 的极值.

2013 · 福建 · 理 · 第 17 题 · 解答题

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18解析几何★★★★☆
如图，在正方形 OABCOABC 中，OO 为坐标原点，点 AA 的坐标为 (10,0)(10,0)，点 CC 的坐标为 (0,10)(0,10). 分别将线段 OAOA 和 ABAB 十等分，分点分别记为 A1A_1，A2A_2，⋯\cdots，A9A_9 和 B1B_1，B2B_2，⋯\cdots，B9B_9，连接 OBiOB_i，过 AiA_i 作 xx 轴的垂线与 OBiOB_i 交于点 PiP_i（i∈N∗i \in \mathbf{N}^{*}，1⩽i⩽91 \leqslant i \leqslant 9）.
(1) 求证：点 PiP_i（i∈N∗i \in \mathbf{N}^{*}，1⩽i⩽91 \leqslant i \leqslant 9）都在同一条抛物线上，并求该抛物线 EE 的方程； (2) 过点 CC 作直线 ll 与抛物线 EE 交于不同的两点 MM，NN，若 △OCM\triangle OCM 与 △OCN\triangle OCN 的面积之比为 4:14 : 1，求直线 ll 的方程.

2013 · 福建 · 理 · 第 18 题 · 解答题

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19立体几何初步★★★★☆
如图，在四棱柱 ABCD−A1B1C1D1ABCD - A_1B_1C_1D_1 中，侧棱 AA1⊥AA_1 \perp 底面 ABCDABCD，AB∥DCAB \parallel DC，AA1=1AA_1 = 1，AB=3kAB = 3k，AD=4kAD = 4k，BC=5kBC = 5k，DC=6kDC = 6k（k>0k > 0）.
(1) 求证：CD⊥CD \perp 平面 ADD1A1ADD_1A_1； (2) 若直线 AA1AA_1 与平面 AB1CAB_1C 所成的正弦值为 67\frac{6}{7}，求 kk 的值； (3) 现将与四棱柱 ABCD−A1B1C1D1ABCD - A_1B_1C_1D_1 形状和大小完全相同的两个四棱柱拼成一个新的四棱柱，规定：若拼成的新四棱柱形状和大小完全相同，则视为一种拼接方案，问：共有几种不同的拼接方案？在这些拼接成的新四棱柱中，记其中最小的表面积为 f(k)f(k)，写出 f(k)f(k) 的解析式.（直接写出答案，不必说明理由）

2013 · 福建 · 理 · 第 19 题 · 解答题

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20三角函数★★★★★
已知函数 f(x)=sin⁡(ωx+φ)f(x) = \sin(\omega x + \varphi)（ω>0\omega > 0， 0<φ<π\ 0 < \varphi < \pi）的周期为 π\pi，图象的一个对称中心为 (π4,0)\left(\frac{\pi}{4}, 0\right)，将函数 f(x)f(x) 图象上所有点的横坐标伸长到原来的 22 倍（纵坐标不变），再将得到的图象向右平移 π2\frac{\pi}{2} 个单位长度后得到函数 g(x)g(x) 的图象.
(1) 求函数 f(x)f(x) 与 g(x)g(x) 的解析式； (2) 是否存在 x0∈(π6,π4)x_0 \in \left(\frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{4}\right)，使得 f(x0)f(x_0)，g(x0)g(x_0)，f(x0)g(x0)f(x_0)g(x_0) 按照某种顺序成等差数列？若存在，请确定 x0x_0 的个数；若不存在，说明理由； (3) 求实数 aa 与正整数 nn，使得 F(x)=f(x)+ag(x)F(x) = f(x) + a g(x) 在 (0,nπ)(0, n\pi) 内恰有 20132013 个零点.

2013 · 福建 · 理 · 第 20 题 · 解答题

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21解析几何★★☆☆☆
已知直线 l:ax+y=1l: ax + y = 1 在矩阵
A=(1201)A = \begin{pmatrix}1 & 2 \\ 0 & 1\end{pmatrix}
对应的变换作用下变为直线 l′:x+by=1l': x + by = 1.
(1) 求实数 aa，bb 的值； (2) 若点 P(x0,y0)P(x_0, y_0) 在直线 ll 上，且
A(x0y0)=(x0y0)A \begin{pmatrix}x_0 \\ y_0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}x_0 \\ y_0\end{pmatrix}
，求点 PP 的坐标.

2013 · 福建 · 理 · 第 21 题 · 解答题

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22解析几何★★☆☆☆
在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，xx 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.已知点 AA 的极坐标为 (2,π4)\left(\sqrt{2}, \frac{\pi}{4}\right)，直线 ll 的极坐标方程为 ρcos⁡(θ−π4)=a\rho \cos \left(\theta - \frac{\pi}{4}\right) = a，且点 AA 在直线 ll 上.
(1) 求 aa 的值及直线 ll 的直角坐标方程； (2) 圆 CC 的参数方程为
{x=1+cos⁡α,y=sin⁡α,\begin{cases} x = 1 + \cos \alpha,\\ y = \sin \alpha, \end{cases}
（α\alpha 为参数），试判断直线 ll 与圆 CC 的位置关系.

2013 · 福建 · 理 · 第 22 题 · 解答题

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23不等式★★☆☆☆
设不等式 ∣x−2∣<a|x - 2| < a（a∈N∗a \in \mathbf{N}^{*}）的解集为 AA，且 32∈A\frac{3}{2} \in A， 12∉A\ \frac{1}{2} \notin A.
(1) 求 aa 的值； (2) 求函数 f(x)=∣x+a∣+∣x−2∣f(x) = |x + a| + |x - 2| 的最小值.

2013 · 福建 · 理 · 第 23 题 · 解答题

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