设函数 $f(x)$ 的定义域为 $\mathbf{R}$，$x_0$（$x_0 \neq 0$）是 $f(x)$ 的极大值点，以下结论一定正确的是（ ）

设 $S$，$T$ 是 $\mathbf{R}$ 的两个非空子集，如果存在一个从 $S$ 到 $T$ 的函数 $y = f(x)$ 满足：

① $T = \{f(x) \mid x \in S\}$； ② 对任意 $x_1$，$x_2 \in S$，当 $x_1 < x_2$ 时，恒有 $f(x_1) < f(x_2)$.

那么称这两个集合“保序同构”，以下集合对不是“保序同构”的是（ ）

已知函数 $f(x) = \sin(\omega x + \varphi)$（$\omega > 0$，$\ 0 < \varphi < \pi$）的周期为 $\pi$，图象的一个对称中心为 $\left(\frac{\pi}{4}, 0\right)$，将函数 $f(x)$ 图象上所有点的横坐标伸长到原来的 $2$ 倍（纵坐标不变），再将得到的图象向右平移 $\frac{\pi}{2}$ 个单位长度后得到函数 $g(x)$ 的图象.

(1) 求函数 $f(x)$ 与 $g(x)$ 的解析式； (2) 是否存在 $x_0 \in \left(\frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{4}\right)$，使得 $f(x_0)$，$g(x_0)$，$f(x_0)g(x_0)$ 按照某种顺序成等差数列？若存在，请确定 $x_0$ 的个数；若不存在，说明理由； (3) 求实数 $a$ 与正整数 $n$，使得 $F(x) = f(x) + a g(x)$ 在 $(0, n\pi)$ 内恰有 $2013$ 个零点.