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06函数与初等函数★★★☆☆
若函数 f(x)f(x)，g(x)g(x) 满足 ∫−11f(x)g(x) dx=0\int_{-1}^{1} f(x) g(x) \, \mathrm{d}x = 0，则称 f(x)f(x)，g(x)g(x) 为区间 [−1,1][-1, 1] 上的一组正交函数，给出三组函数：
① f(x)=sin⁡x2f(x)=\sin\frac{x}{2}，g(x)=cos⁡x2g(x)=\cos\frac{x}{2}； ② f(x)=x+1f(x)=x+1，g(x)=x−1g(x)=x-1； ③ f(x)=xf(x)=x，g(x)=x2g(x)=x^{2}.
其中为区间 [−1,1][-1, 1] 上的正交函数的组数是（ ）
A.
00
B.
11
C.
22
D.
33

2014 · 湖北 · 理 · 第 6 题 · 选择题

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10函数与初等函数★★★★★
已知函数 f(x)f(x) 是定义在 R\mathbf{R} 上的奇函数，当 x⩾0x \geqslant 0 时，f(x)=12(∣x−a2∣+∣x−2a2∣−3a2)f(x) = \frac{1}{2} (|x - a^2| + |x - 2a^2| - 3a^2). 若 ∀x∈R\forall x \in \mathbf{R}，f(x−1)⩽f(x)f(x - 1) \leqslant f(x)，则实数 aa 的取值范围为（ ）
A.
[−16,16]\left[-\frac{1}{6},\frac{1}{6}\right]
B.
[−66,66]\left[-\frac{\sqrt{6}}{6},\frac{\sqrt{6}}{6}\right]
C.
[−13,13]\left[-\frac{1}{3},\frac{1}{3}\right]
D.
[−33,33]\left[-\frac{\sqrt{3}}{3},\frac{\sqrt{3}}{3}\right]

2014 · 湖北 · 理 · 第 10 题 · 选择题

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14函数与初等函数★★★☆☆
设 f(x)f(x) 是定义在 (0,+∞)(0, +\infty) 上的函数，且 f(x)>0f(x) > 0，对任意 a>0a > 0，b>0b > 0，若经过点 (a,f(a))(a, f(a))，(b,−f(b))(b, -f(b)) 的直线与 xx 轴的交点为 (c,0)(c, 0)，则称 cc 为 aa，bb 关于函数 f(x)f(x) 的平均数，记为 Mf(a,b)M_{f}(a,b). 例如，当 f(x)=1f(x)=1（x>0x>0）时，可得 Mf(a,b)=c=a+b2M_{f}(a,b)=c=\frac{a+b}{2}，即 Mf(a,b)M_{f}(a,b) 为 aa，bb 的算术平均数.
(1) 当 f(x)=f(x)=______（x>0x>0）时，Mf(a,b)M_f(a, b) 为 aa，bb 的几何平均数； (2) 当 f(x)=f(x)=______（x>0x>0）时，Mf(a,b)M_f(a, b) 为 aa，bb 的调和平均数 2aba+b\frac{2ab}{a + b}. （以上两空各只需写出一个符合要求的函数即可）

2014 · 湖北 · 理 · 第 14 题 · 填空题

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21解析几何★★★★☆
在平面直角坐标系 xOyxOy 中，点 MM 到点 F(1,0)F(1,0) 的距离比它到 yy 轴的距离多 1，记点 MM 的轨迹为 CC.
(1) 求轨迹为 CC 的方程； (2) 设斜率为 kk 的直线 ll 过定点 P(−2,1)P(-2,1)，求直线 ll 与轨迹 CC 恰好有一个公共点，两个公共点，三个公共点时 kk 的相应取值范围.

2014 · 湖北 · 理 · 第 21 题 · 解答题

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