过抛物线 $y^{2} = 2px$ （$p > 0$）的焦点 $F$ 作倾斜角为 $45^{\circ}$ 的直线交抛物线于 $A$，$B$ 两点，若线段 $AB$ 的长为 $8$，则 $p =$______.

\begin{solution} 抛物线$y^2=2px$的焦点为$F\left(\frac{p}{2},0\right)$.倾斜角为$45^{\circ}$的直线为 $y=x-\frac{p}{2}$.代入抛物线得 设两交点的横坐标为$x_1$，$x_2$，则 $\lvert x_1-x_2\rvert=\sqrt{9p^2-p^2}=2\sqrt{2}p$.由于直线斜率为$1$，弦长 由$AB=8$得$p=2$. \end{solution}

已知 $A$，$B$ 分别为曲线 $C: \frac{x^2}{a^2} + y^2 = 1$（$y \geqslant 0$，$a > 0$）与 $x$ 轴的左，右两个交点，直线 $l$ 过点 $B$，且与 $x$ 轴垂直，$S$ 为 $l$ 上异于点 $B$ 的一点，连结 $AS$ 交曲线 $C$ 于点 $T$.

(1) 若曲线 $C$ 为半圆，点 $T$ 为圆弧 $\widehat{AB}$ 的三等分点，试求出点 $S$ 的坐标； (2) 如图，点 $M$ 是以 $SB$ 为直径的圆与线段 $TB$ 的交点. 试问：是否存在 $a$，使得 $O$，$M$，$S$ 三点共线？若存在，求出 $a$ 的值，若不存在，请说明理由.

\begin{solution} \begin{enumerate} \item 当$C$为半圆时$a=1$，故$A=(-1,0)$，$B=(1,0)$.圆弧$AB$的两个三等分点为$T_1\left(\frac{1}{2},\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$和$T_2\left(-\frac{1}{2},\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$.

直线$AT_1$的斜率为$\frac{\sqrt{3}}{3}$，代入$x=1$得$y=\frac{2\sqrt{3}}{3}$；直线$AT_2$的斜率为$\sqrt{3}$，代入$x=1$得$y=2\sqrt{3}$.因此

\item 设$S=(a,s)$.由于第二个交点$T$在$y\geqslant0$的上半椭圆上，且$S\neq B$，故取$s>0$.令直线$AS$上的点为$(x,y)=(-a+2au,su)$.代入椭圆方程，除去对应于$A$的根$u=0$，得到 $(-1+2u)^2+s^2u^2=1$，$\Longrightarrow$，$u=\frac{4}{4+s^2}$， 所以 圆$SB$以$SB$为直径，其方程为$(x-a)^2+y^2-sy=0$.若$O$，$M$，$S$共线，设$M=\lambda S=(\lambda a,\lambda s)$.由于$M$在$TB$上而$S$不在$TB$上，故$\lambda\neq1$.由$\angle SMB=90^{\circ}$得 由于$\lambda\neq1$，所以 从而$\lambda=\frac{a^2}{a^2+s^2}$，即 另一方面，由上式中$T$的坐标，直线$BT$的斜率为$\frac{y_T}{x_T-a}=-\frac{2}{as}$；而$BM$的斜率为$-\frac{a}{s}$.要使$B$，$T$，$M$共线，必须有$-\frac{a}{s}=-\frac{2}{as}$，所以$a^2=2$.因为$a>0$，得到$a=\sqrt{2}$.此时 $M-B=\frac{4+s^2}{2(2+s^2)}(T-B)$，$0<\frac{4+s^2}{2(2+s^2)}<1$， 故$M$确在线段$TB$上，所求值存在. \end{enumerate} \end{solution}

已知直线 $l$：$3x + 4y - 12 = 0$ 与圆 $C$： （$\theta$ 为参数），试判断他们的公共点个数.

\begin{solution} 圆$C$的圆心为$O_1=(-1,2)$，半径为$2$.圆心到直线$l:3x+4y-12=0$的距离为 因此直线与圆相交于两个不同的公共点，公共点个数为$2$. \end{solution}