$\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}(1 + \cos x)\mathrm{d}x$ 等于（ ）

\begin{solution} 由原函数的一个原函数可得 因此选 D. \end{solution}

若曲线 $f(x) = ax^3 + \ln x$ 存在垂直于 $y$ 轴的切线，则实数 $a$ 取值范围是______.

\begin{solution} 函数定义域为$x>0$，且 $f'(x)=3ax^2+\frac{1}{x}$.切线垂直于$y$轴即切线水平，所以存在$x_0>0$使 反之，任取$a<0$，取$x_0=\sqrt[3]{-\frac{1}{3a}}>0$，即可使$f'(x_0)=0$.因此$a$的取值范围是$(-\infty,0)$. \end{solution}

已知函数 $f(x) = \frac{1}{3} x^3 + ax^2 + bx$，且 $f'(-1) = 0$.

(1) 试用含 $a$ 的代数式表示 $b$，并求 $f(x)$ 的单调区间； (2) 令 $a = -1$，设函数 $f(x)$ 在 $x_1$，$x_2$（$x_1 < x_2$）处取得极值，记点 $M(x_1, f(x_1))$，$N(x_2, f(x_2))$，$P(m, f(m))$，$x_1 < m < x_2$. 请仔细观察曲线 $f(x)$ 在点 $P$ 处的切线与线段 $MP$ 的位置变化趋势，并解释以下问题：

(i) 若对任意的 $m \in (t, x_2]$，线段 $MP$ 与曲线 $f(x)$ 均有异于 $M$，$P$ 的公共点，试确定 $t$ 的最小值，并证明你的结论； (ii) 若存在点 $Q(n, f(n))$，$x_1 \leqslant n < m$，使得线段 $PQ$ 与曲线 $f(x)$ 有异于 $P$，$Q$ 的公共点，请直接写出 $m$ 的取值范围. （不必给出求解过程）

\begin{solution} \begin{enumerate} \item 由 $f'(x)=x^2+2ax+b$，$f'(-1)=1-2a+b=0$ 得$b=2a-1$.于是

当$a>1$时，$1-2a<-1$，故$f'(x)$在$(-\infty,1-2a)$和$(-1,+\infty)$上为正，在$(1-2a,-1)$上为负.因此增区间为$(-\infty,1-2a)$和$(-1,+\infty)$，减区间为$(1-2a,-1)$.

当$a=1$时，$f'(x)=(x+1)^2\geqslant0$，所以$f(x)$在$\mathbf{R}$上单调递增.

当$a<1$时，$-1<1-2a$，故$f'(x)$在$(-\infty,-1)$和$(1-2a,+\infty)$上为正，在$(-1,1-2a)$上为负.因此增区间为$(-\infty,-1)$和$(1-2a,+\infty)$，减区间为$(-1,1-2a)$.

\item 令$a=-1$，则$b=-3$，故$f(x)=\frac{1}{3}x^3-x^2-3x$，$f'(x)=(x+1)(x-3)$，所以$x_1=-1$，$x_2=3$.

对曲线上横坐标为$u$，$v$的两个点作割线.由于$f(x)$的三次项系数为$\frac{1}{3}$，割线方程与曲线方程相减后所得三次方程的三个根为$u$，$v$，$w$.该三次方程的首项为$\frac{1}{3}x^3$，而二次项系数为$-1$，与$\frac{1}{3}(x-u)(x-v)(x-w)$比较可得$-\frac{u+v+w}{3}=-1$，即$u+v+w=3$，所以第三个交点的横坐标为$w=3-u-v$.

\begin{enumerate} \item 取$u=x_1=-1$，$v=m$，得$w=4-m$.当$m\in(t,3]$时，线段$MP$与曲线有异于$M$，$P$的公共点，要求第三个交点的横坐标满足$-1<w<m$.代入$w=4-m$得$4-m<m$，即$m>2$；当$m=3$时仍有$w=1$，满足条件.因此对所有$m\in(2,3]$均成立，而任意$t<2$都会使$m=2$落入$(t,3]$，此时$w=m$并无异于$P$的第三个交点.故$t$的最小值为$2$.

\item 取$u=n$，$v=m$，第三个交点横坐标为$w=3-m-n$.它位于线段$PQ$内部当且仅当 还需满足$-1\leqslant n<m$.当$m\leqslant1$时，$3-2m\geqslant m$，不存在这样的$n$；当$1<m<3$时，上述不等式区间与$[-1,m)$有公共部分，可以选取这样的$n$.所以$m$的取值范围为$(1,3)$. \end{enumerate} \end{enumerate} \end{solution}