已知某运动员每次投篮命中的概率都为 $40\%$. 现采用随机模拟的方法估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率：先由计算器算出$0$到$9$之间取整数值的随机数，指定$1$，$2$，$3$，$4$表示命中，$5$，$6$，$7$，$8$，$9$，$0$表示不命中；再以每$3$个随机数为一组，代表三次投篮的结果. 经随机模拟产生了$20$组随机数：

据此估计，该运动员三次投篮有两次命中的概率为（ ）

\begin{solution} 把每组的三个数字按“$1$，$2$，$3$，$4$ 命中，其余不命中”判断.恰有两次命中的组为 $191$、$271$、$932$、$812$、$393$，共$5$组.总共模拟了$20$组，所以频率为 $\frac{5}{20}=0.25$.因此估计的概率为$0.25$，选 B. \end{solution}

某校开展“爱我海西，爱我家乡”摄影比赛，$9$位评委为参赛作品 $A$ 给出的分数如茎叶图所示. 记分员在去掉一个最高分和一个最低分后，算术平均分为$91$，复核员在复核时，发现有一个数字（茎叶图中的 $x$）无法看清. 若记分员计算无误，则数字 $x$ 应该是______.

\begin{solution} 茎叶图中的九个分数为$88$，$89$，$89$，$91$，$92$，$92$，$93$，$94$，$90+x$.去掉最低分$88$后，最高分为$94$（当$x\leqslant4$）或$90+x$（当$x\geqslant5$）.去掉最高、最低分后，七个分数的和应为$7\times91=637$.

九个分数的总和为$818+x$.若$x\leqslant4$，去掉$88,94$后有 $818+x-88-94=637$，解得$x=1$，符合$x\leqslant4$.若$x\geqslant5$，去掉$88$，$90+x$后总和为$640$，不等于$637$.因此$x=1$. \end{solution}

从集合 $\{1, 2, 3, 4, 5\}$ 的所有非空子集中，等可能地取出一个.

(1) 记性质 $r$：集合中的所有元素之和为 $10$，求所取出的非空子集满足性质 $r$ 的概率； (2) 记所取出的非空子集的元素个数为 $\xi$，求 $\xi$ 的分布列和数学期望 $E_{\xi}$.

\begin{solution} \begin{enumerate} \item 非空子集共有$2^5-1=31$个，且每个被取出的可能性相同.元素和为$10$的非空子集为 $\{1,4,5\}$、$\{2,3,5\}$、$\{1,2,3,4\}$，共$3$个，所以$P(r)=\dfrac{3}{31}$.

\item 记所取子集的元素个数为$\xi$.当$\xi=k$时，从$5$个元素中选出$k$个，共有$\mathrm C_5^k$种，故 \begin{center} \begin{tabular}{c|ccccc} $\xi$&$1$&$2$&$3$&$4$&$5$\ \hline $P$&$\dfrac{5}{31}$&$\dfrac{10}{31}$&$\dfrac{10}{31}$&$\dfrac{5}{31}$&$\dfrac{1}{31}$ \end{tabular} \end{center} 并且 \end{enumerate} \end{solution}