等差数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$，且 $S_{3} = 6$，$a_{1} = 4$，则公差 $d$ 等于（ ）

\begin{solution} 等差数列前三项为$a_1=4$，$a_2=4+d$，$a_3=4+2d$.由题设 解得唯一公差$d=-2$. 回代得前三项为$4$，$2$，$0$，其和为$6$，满足题设. 选项 A、B、C、D 分别为$1$，$\frac{5}{3}$，$2$，$3$，均不等于$-2$，故四个选项均不正确. \end{solution}

阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的结果是（ ）

\begin{solution} 程序开始时$S=2$，$n=1$.循环第一次计算 $S=\frac{1}{1-S}=\frac{1}{1-2}=-1$，随后$n=2$；第二次计算 $S=\frac{1}{1-(-1)}=\frac{1}{2}$，随后$n=4$；第三次计算 $S=\frac{1}{1-\frac{1}{2}}=2$，随后$n=8$.此时满足$S=2$，输出$n=8$，选 C. \end{solution}

五位同学围成一圈依序循环报数，规定：

① 第一位同学首次报出的数为 $1$，第二位同学首次报出的数也为 $1$，之后每位同学所报出的数都是前两位同学所报出的数之和； ② 若报出的数为 $3$ 的倍数，则报该数的同学需拍手一次.

已知甲同学第一个报数，当五位同学依序循环报到第$100$个数时，甲同学拍手的总次数为______.

\begin{solution} 记第$n$个报出的数为$F_n$，则$F_1=F_2=1$，且$F_n=F_{n-1}+F_{n-2}$.模$3$计算得到 $F_1$，$F_2$，$\ldots$，$F_8\equiv1$，$1$，$2$，$0$，$2$，$2$，$1$，$0\pmod{3}$ 又 $F_9\equiv F_1$，$F_{10}\equiv F_2\pmod{3}$，递推关系相同，所以之后以$8$为周期.因此$F_n$是$3$的倍数当且仅当$n\equiv0$或$4\pmod{8}$.

甲同学第一次报第$1$个数，五人循环，所以甲报数的序号为$n=1+5k$.报到第$100$个数时$0\leqslant k\leqslant19$.条件 $1+5k\equiv0$或$4\pmod{8}$分别给出$k\equiv3$或$7\pmod{8}$.在$0\leqslant k\leqslant19$中，这些$k$为$3$，$7$，$11$，$15$，$19$，共$5$个.因此甲同学拍手$5$次. \end{solution}